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Diciamo perciò v, e vs due integrali indipendenti dell'equazione (Il), 
e consideriamo l'integrale della medesima equazione 
D(E mn) =v2 MM) — 0, n v(E,n— vm 0, Mn} ve(E, n), 
che si annulla sopra la curva £ = m(7) — 9, avendo designato con o una 
costante piccolissima minore di 
E. 
Dico che l'integrale v(£,7) è sempre diverso da zero in R'. Ed invero, se 
7 è l'ordinata di un punto di R' in cui si annulla v, l'equazione ordinaria 
del second’ordine 
LA IRENLLA 0 
de (ED FRE e=0 
possiederebbe l'integrale v(È,7) avente due zeri consecutivi distanti fra loro 
per meno di 77 Va: il che è impossibile, come subito deriva dal teorema 
di confronto di Sturm per le equazioni ordinarie. 
Ritornando alle variabili x e y, possiamo, dopo ciò, enunciare il teorema: 
Detti m e M il minimo e i massimo in T rispettivamente delle 
funzioni 
i 0x(5.Y)+t(8-9. 1 
Sega 0(s, Y) 
È 05) +65, 
B(2,4) -/%o 8(s,y) 
Bla, y) = OL i 
= e 
6(2,Y) 
per ogni campo R di T limitato da due caratteristiche p=% ,9@=% 
e da due curve ci e Co, non incrociantisi mai, che, incontrate ciascuna 
in un sol punto da ogni caratteristica p=n(M0 <=N Mm) staccano 
sopra questa un arco la cui proiezione ortogonale sull'asse x non supera 
una quantità i<aj/, esiste un integrale dell'equazione (II) ivi 
sempre diverso da zero. 
6. Ritornando ora al confronto fra l'equazione (I) e la (II), supponiamo 
in primo luogo che l'equazione (I) sia ellittica. Dal teorema ultimamente 
enunciato segue l’umicità dell’integrale dell'equazione L(<) == assoggettato 
a prendere sul contorno ec di un campo C, /u/to contenuto in un campo R, 
valori assegnati. Osserviamo l’arbitrarietà che sussiste nella scelta della fa- 
miglia g(x,y)="cost delle caratteristiche per l'equazione (II) quando si 
voglia disporre della scelta dei coefficienti di questa. Potremo arbitraria- 
