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mente assegnare in Z° una funzione @ che, colle sue derivate prime, sia ivi 
finita e continua e abbia sempre @, #0; se 6(z,y) designa una seconda 
funzione arbitraria sempre positiva in Z° e y il quoziente — (9x:Yy), pren- 
dendo 
=_— by , t=0y°, 
l'equazione (II) avrà appunto le g(4,y)= cost come caratteristiche. Per 
potere applicare il teorema di confronto fra le equazioni (I) e (II), la fun- 
zione 6(x,y) dovrà poi essere scelta fra le infinite funzioni sempre positive 
in I, ivi soddisfacenti alle seguenti diseguaglianze: 
a=>0, c>0y, (a—0)(c-0x)—(6— 0g)}=0, 
prendendo infine per B una qualunque funzione in tutto Z° non inferiore a 
H(x,y). 
Ne segue il teorema: 
Assegnata arbitrariamente in T una famiglia D di curve continue 
a tangente variabile con continuità non mai parallela all’asse y, delle 
quali per ogni punto di T° ne passa una e una sola, si può corrisponden- 
temente determinare (in infiniti modi) un numero positivo 4 che gode 
della seguente proprietà: Sta dato un campo © di T; se il primo e l’ul- 
timo punto di incontro di ogni curva ®, che invade C, col contorno e 
di C, limitano su questa un arco la cui proiezione ortogonale sopra 
l’asse a non supera una quantità è <d4, è unico in C l'integrale della 
equazione ellittica L(e)=f che su c prende valori prescritti. La precisa 
determinazione di A non richiede che la ricerca del minimo e del mas- 
simo în T per le funzioni a(x ,y) e P(x,y) del n. precedente; designando 
questi rispettivamente con me M, sì ha A=n VE (DL 
7. Supponiamo ora l'equazione (I) parabolica. Le due equazioni para- 
boliche (I) e (II), fra i cui coefficienti sussistono le diseguaglianze (1), hanno 
a comune le caratteristiche; segue dunque il teorema: 
L'equazione L(e) = f sia parabolica in un campo T per ogni punto 
del quale passa una ed una sola delle sue caratteristiche ® di tangente 
non mai parallela all'asse y, si può sempre determinare (in infiniti modi) 
un numero posttivo 4 che gode della sequente proprietà: Sia dato un 
campo © di T; se il primo e l’ultimo punto di incontro di ogni caratte- 
ristica, che invade C, col contorno c di C, limitano su questa un arco 
(1) E ben nota l’importanza che ai teoremi di unicità nei problemi dei valori al 
contorno per le equazioni ellittiche ha conferito la Memoria di E. E. Levi: / problemi 
dei valori al contorno per le equazioni lineari totulmente ellittiche alle derivate par- 
ziali. Memorie della Società italiana delle Scienze, tomo XVI della serie 38. 
