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il 2° membro della (4) — il che porta la dipendenza funzionale di tre in- 
tegrali del tipo (2) — è che peri gruppi di costanti 0;,%;, &w,v;, esistano 
valori non tutti nulli, i quali verifichino le (£) relazioni 
3 Lt 
(9) Dodo Ph, Bk . Mt 
VERO ES 
Per vedere quando le (9) possano essere verificate, interpretiamo, seguendo 
Castelnuovo (’) le 06), come coordinate omogenee di d punti A;(i=1,2,...,0) 
di una spazio a (2)_1 dimensioni. Allora, al variare delle 0;, il primo 
membro della (9) dà le coordinate di un punto che può occupare qualunque 
posizione entro lo Sa-1, individuato dai punti A;. Il 2° membro invece for- 
nisce le coordinate di un punto che si può associare al piano individuato, 
entro uno spazio Sy-1, dai punti di coordinate omogenee (4, 42; ... , 4g). 
(Win Ma» Mg) (01, Va, ---%g); e che perciò, al variare i(delletM>4u:5077 
descrive una varietà W a 3(9—3) dimensioni. La (9) sarà dunque sod- 
disfatta da convenienti valori, non tutti nulli, delle 0;,Z;, wj, v;, se lo Ss. 
e la W avranno dei punti in comune: e questo certamente accadrà se 
al 
cioè, tenendo conto della (6), se sarà 
(10) P,<83(A—3). 
Viceversa, se è soddisfatta la (10), lo è pure la (6), e quindi qualcuno 
dei determinanti (3) risulterà identicamente nullo sopra V. Se inoltre, come 
abbiamo inizialmente supposto, la V non contiene fasci irrazionali, ciò signi- 
fica che tre integrali del tipo (2) sono funzionalmente dipendenti senza che 
lo siano due fra essi; e perciò, applicando il teorema dimostrato nella Nota 
precedente (*), possiamo concludere che V possiede una congruenza irrego- 
lare, d’indice 1, di curve algebriche. 
Rimane adunque provata l'esistenza d'un sistema siffatto, o quella d’un 
fascio irrazionale di superficie, sopra ogni varietà algebrica a tre dimensioni 
i cui caratteri verifichino la disuguaglianza (10). 
(1) Castelnuovo, Sulle superficie aventi il genere aritmetico negativo, Rendiconti 
del Circolo Matematico di Palermo, tom. XX (1905), pp. 55-60. 
(3) Sulle varietà algebriche che possiedono integrali semplici funzionalmente di- 
vrendenti. Questi Rendiconti, vol. XXII, ser 5%, 2° sem. 1913, pag. 270. 
