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OssERVAZIONE. — Poichè, essendo P,= 0, la (10) non può essere 
soddisfatta se è 4 < 3, risulta in definitiva superfluo di enunciare l’ ipotesi 
q=3. È d'altronde noto che, per <= 1,2, la V possiede una congruenza 
d' indice 1 e d'irregolarità g di curve algebriche, a un fascio di genere % 
di superficie algebriche (*). Anzi, se g= 1, sì può sempre considerare su V 
un fascio ellittico di superficie. Invero, se V possiede una congruenza £, 
d'indice 1, di curve algebriche, questa avrà l'irregolarità 1: e quindi una 
superficie F_che sia imagine di X conterrà, come è noto, un fascio ellittico 
di curve, a cui risponderanno su V le superficie di un fascio parimenti el- 
littico. Del resto questa proprietà si può facilmente dedurre dal fatto che V 
possiede un solo intevrale semplice di 1% specie con due periodi. 
2. Vediamo ora di precisare maggiormente il risultato del n. 1. Perciò 
supponiamo anzitutto che V contenga una congruenza X, d'indice 1, di 
curve algebriche, avente l'irregolarità 4. Poichè mediante la trasformazione 
razionale che intercede tra V e una superficie F_ imagine di 3, a d inte- 
grali semplici di 1% specie linearmente indipendenti, appartenenti ad F, 
corrispondono altrettanti integrali analoghi di V. ciascuno dei quali si man- 
tiene costante lungo le curve di 2, potremo supporre. scegliendo convenien- 
temente gli integrali (1), che questa proprietà sia verificata da w,,%2....%a- 
Supposto anche che due fra gli integrali (1), ad es. %;, <», siano funzional- 
mente indipendenti, consideriamo ì g —d determinanti 
P, ’ Qi ’ R, 
(11) RO Ro ‘ ((=4d+1,d+2,..,%, 
Bi ’ Qi , Ri; 
e osserviamo che essi non possono risultare identicamente nulli, perchè, altri- 
menti, qualcuno fra gli integrali x; con 2 > 4 dipenderebbe funzionalmente 
da %,,%s, e quindi sarebbe costante lungo le curve della congruenza: e che 
essi sono inoltre linearmente indipendenti, perchè una relazione lineare 
del tipo 
i P, b) Qi 9, Ri P, b) Qi È) R, 
SI À; Ps O PR = P, . Qs Rs 0, 
I 
.non potendo, per l'indipendenza lineare di wa+1, %a+s ,... %9, essere equiva- 
lente alle 
CE 
DI ii = Bi ÀàanQ=0, DI Àà, Ra=0, 
h=d+1 h=d+1 h=d+1 
(*) Severi, Sulle superficie e varietà algebriche irregolari di genere geometrico 
nullo, questi Rendiconti (5), tom. XX (1911), pp. 537-546. 
