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il porterebbe di conseguenza una relazione funzionale fra l'integrale 
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MII] = Àn Un; 
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g(c| e gli integrali «,,%», che è assurda perchè x — il quale è linearmente 
i indipendente da w,,%>,...,%a — dovrebbe esser costante lungo le curve 
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190) della congruenza, mentre a questa appartengono i soli integrali w,,%2,...,%a 
linearmente indipendenti. i 
Poichè sì possono formare g — 4 determinanti linearmente indipendenti 
del tipo (11), e quindi altrettanti integrali tripli distinti di 1 specie ap- 
partenenti a V, così sì conclude che 
P,>qg—-d, cioè d=>q— Py. 
Questa disuguaglianza è espressiva solo se g — Py = 3, perchè si ha sempre 
d = 3 in virtù del teorema dimostrato nella Nota precedente. 
Supponiamo, ora, che, pure essendo soddisfatta la (10), V non si trovi 
nelle condizioni precedentemente esaminate; vi sarà allora entro V un fascio 
di superficie avente il genere 4(= 2), e ci sarà lecito di imaginare che 
gli integrali w,, us, ... a di V si mantengano costanti lungo le superficie 
| del fascio. Posto allora «= vi An un (le 4 essendo costanti), consideriamo 
| DI hn=d+2 
| i tre integrali w,,a+1,% e osserviamo: 
I A 1°) che due fra essi non possono essere funzionalmente dipendenti. 
Dl Invero, se lo fossero w,,%a+1, Ovvero %;,%, al fascio considerato apparterreb- 
Ù bero più di 4 integrali di 18 specie linearmente indipendenti; e se lo fos- 
i sero %a+1, v, la V conterrebbe un altro fascio di superficie algebriche, ciascuna 
delle quali sarebbe di livello costante per quei due integrali. Ma allora 
la congruenza, d'indice 1, di curve algebriche, che risulta dall’intersezione 
dei due fasci, possiederebbe i due integrali di 18 specie w,, a+; funzional- 
mente indipendenti, e quindi si ricadrebbe nel caso precedente; 
il 2°) che a quest'ultima conclusione porterebbe subito l'ipotesi di un 
I legame funzionale fra w, , %a+1,%; 
ne risulterà che ig —d—1 determinanti 
=_= = = 
_—-=e_T_TT_r__ See - === = 
| Pi b) Q ’ R, 
Pasi ’ Qa+i , Ra+: 5) h=(442,4d43,...,9), 
P, ’ Qh ’ Rn 
ET 
sono diversi da zero e linearmente indipendenti, e quindi che P,>9—-d—1, 
cioè, infine, che d>q—-P,—- 1. 
