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La questione indicata è stata effettivamente oggetto di studio. Da me 
e, quasi contemporaneamente, dal Gevrey e dall’ Hadamard ed infine, più 
recentemente, dall’ Holmgren (*). Ma in tutti questi studî del problema 
Holmgren-Levi per l'equazione (2), sia che si tenti di stabilire il teorema 
di unicità (Picone, Gevrey. Holmgren), sia cLe si tenti di stabilire il teo- 
rema d'esistenza (Gevrey), sia che si tenti la ricerca di una soluzione fon- 
damentale (Hadamard), si è stati sempre costretti a considerare la (2) in 
un campo in cui il coefficiente d(x, y) si mantenga diverso da zero o sod- 
disfi, cogli altri coefficienti, a certe relazioni speciali. 
Sono, queste, delle restrizioni dipendenti dai metodi seguìti nella ri- 
cerca? Mostrerò in questa Nota che ciò non è; mostrerò che il teorema 
Holmgren-Levi più non è valido per l'equazione (2) quando si lasci al 
coefficiente b(x ,y) tutta la sua generalità. 
(Quivi infatti adduco esempî di equazioni (2) per le quali l'integrale 
verificante le condizioni del problema Holmgren-Levi non sempre esiste, per 
quanto, quando esiste, sia sempre da queste ben determinato. Si scorge in 
ciò altresì l'impossibilità di tradurre il problema Holmgren-Levi per l'equa- 
zione (2) in un'equazione integrale del tipo Volterra o del tipo Fredholm, 
quando si lasci al coefficiente d(x , y) tutta la sua generalità: diversamente, 
i teoremi di unicità e di esistenza per quel problema dovrebbero sempre 
valere 0, quando mancano, mancare insieme. 
Non sembra dunque che ad una teoria per la determinazione dell’ inte- 
grale delle equazioni paraboliche più generali si possa dare (nel campo non 
analitico) uno svolgimento che, nelle sue fasi, presenti qualche analogia con 
quello preso dalla teoria per la determinazione dell’ integrale delle equazioni 
iperboliche o delle equazioni ellittiche. 
2. Stabiliamo anzitutto il teorema di unicità nel problema Holmgren- 
Levi per l'equazione (2) (?). Nel campo 7, in cui sono definiti i coefficienti 
dell'equazione 
(3) L()i=108 
ma NES È da dd RO 
e sono finiti e continui con le derivate ia consideriamo una curva s 
Xx dY 
senza punti multipli, tntta al finito, la quale ammetta tangente (generalmente) 
e sia incontrata in un numero finito di punti dalle parallele all'asse delle x 
e dalle parallele all'asse delle y. 
(1) Picone, Sopra alcuni problemi nella teoria delle equazioni paraboliche, Lito- 
grafia (Pisa), marzo 1911; Gevrey, Compt. rendus, 1° sem. 1911, tom. 152, pag. 428; 
Hadamard, ibidem, pag. 1148; Holmgr:n, Arkiv for Mat., tom. 7 (1912). 
(*) La dimostrazione che ne dò qui, trovasi già nella mia Memoria citata. Ad essa 
rimane sempra il pregio, in confronto delle altre, di una grandissima elementarità. 
