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Vogliamo dimostrare il seguente teorema di unicità: 
La curva s sia terminata da due punti A(xo,k), B(a1,k), eventual- 
mente coincidenti (x° = @1), sulla caratteristica y= k, e col segmento 
AB di questa limiti un campo C di T. Se è, in lutto C, 
Ue, y)<0[0x,9) > 0] 
e la normale al segmento AB, vòlta verso l'interno del campo C, ha senso 
contrario (concorde) a quello dell'asse delle y, non può esistere in C più 
di un integrale delle (2) che su s prenda valori prescritti. 
Dimostreremo che un integrale v della (3), nullo su tutto s, è identi- 
camente nullo in C, e lo faremo nell'ipotesi secondo cui, essendo, in C, 
b(2,4Y)<0, la normale al segmento AB vòlta verso l'interno di C ha 
senso contrario a quello dell’asse delle y. Perciò, ispirandoci ad un artificio 
escogitato dal Dini ('), moltiplichiamo ambo i membri della (3) per un'ar- 
bitraria funzione y(y) della sola y, sempre positiva in tutte T, di cui fra 
poco disporremo. Dalla (3) segue: 
(4) | fo uL(e) de dy=0, 
intendendo, come sempre in seguito, l'integrale doppio esteso al campo C. 
Ora si ha, Hr su s è nulla «, e su AB è nullo dy, 
Ji put" È da dy = {fut == ia dx dy= — -— ff (eso) da dy, 
f fara d —dxdy= UE >) dady= — SSex —u daxdy, 
f pub di dy= Ji [3 mi po) da dy — SS pu da dy= 
=-—SSG$ sie) 5 de dy +9 [e Meda; 
pertanto seguirà dalla (4): 
| (o i da dy + Sfia (se a - = S| — pi u da dy + 
+ 200) fd ua) dI—10} 
l/Xo 
(1) Dini, Sulle equazioni a derivate parziali del secondo ordine, Memorie della 
R. Accademia dei Lincei, vol. III della serie 5% (1899), nn. 2 e 3. In questa Memoria 
del Dini trovasi, a pag. 72, enunciato un teorema di unicità per le equazioni paraboliche 
da cui si può dedurre, come caso particolare, il teorema che dimostriamo nel testo; il 
quale dunque, sostanzialmente, è da considerarsi come dovuto al Dini. 
RenpICONTI. 1918, Vol. XXII, 2° Sem. 45 
