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Ora avendosi sempre, in C, p>0 e 2<0, il primo membro di que- 
st'ultima eguaglianza sarebbe la somma di tre integrali dello stesso segno 
se in C fosse 
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) 2e—-——-g|}-pb=0. 
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Ciò si potrà ottenere disponendo della funzione arbitraria positiva (7). 
E infatti, per l'ipotesi fatta su d(z,y), secondo la quale essa non è mai 
nulla in C, la funzione 
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(I) i urna dY 
sarà ivi finita; detto m il suo minimo, sarà verificata la (6) da tutte quelle 
funzioni positive p(y) per le quali è p':p = m, in particolare dalla e!%. 
Scelta in tal modo la funzione 7(y), dalla (5) si trarrà necessariamente 
20, e quindi, ivi, x=0. Il nostro teorema di unicità è dunque dimo- 
strato. 
3. Le condizioni sotto le quali abbiamo ottenuto il precedente teorema 
di unicità, mentre prestano un ufficio importantissimo (Gevrey) nella dimo- 
strazione del teorema d'esistenza per il problema Holmgren-Levi, non sono, 
com'è evidente, tutte essenziali per il detto teorema di unicità. Così, per 
coneludere l'unicità in C dell’integrale della (2) che prende su s valori 
assegnati, basterebbe, per esempio, supporre che sia b= 0 soltanto sul seg- 
mento AB della caratteristica y=#, e che, pur potendo altrove 4% passare 
dal positivo al negativo, sia sempre in © 
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2c — (0) 
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Prendendo allora per p(y) una costante positiva, il primo membro della (5) 
risulterebbe di nuovo una somma di integrali dello stesso segno. 
Come pure il precedente teorema di unicità continuerebbe a valere nel 
caso in cui sul segmento AB della caratteristica y= % fosse sempre è = 0 
e in C la funzione (7) risultasse finita, pur potendo ) annullarvisi. 
4. Fermiamoci a considerare quest'ultimo caso. Vogliamo mostrare che, 
assegnato il campo C, si possono scegliere, con una grandissima arbitrarietà, 
i coefficienti di L(v) in guisa che, essendo 5 <0 su AB e la (7) finita 
in C (continuando dunque a valere il teorema di unicità per il problema 
Holmgren-Levi), non sempre rimane valido il relativo teorema d'esistenza. 
Consideriamo pure un campo € il cui contorno sia nelle condizioni più 
particolari sotto le quali è stato dimostrato (Gevrey) l’indicato teorema di 
esistenza nel caso 9 < 0. Il contorno di C deve essere costituito da due 
