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In tutte queste formule, a y", Ky',... 2’ possiamo rispettivamente sostituire 
y®,Ky7,..n7; basta inoltre dimostrare solamente le formule a sinistra: 
le altre risultano subito. 
Ora la (9) è una immediata conseguenza della (7) (I, pag. 28, [3]). 
Per dimostrare la (10) basta osservare che (II, pag. 136, [11]) 
ILy= Ba +vXRKoa=m+vXb=%. 
Poscia notiamo che (I, pag. 38, [4]) 
Ky.Ry=I3y = 3y.Ky.Ky', 
poichè dalla (8) si ha 
Koei _a1E 
quindi 
Ky(Ry — 2Ky)= 0. 
Ma y, e quindi Ky, sono proprie, così risulta subito la (11). 
Applicando alla (11) l’operatore K, si ottiene la (12). 
Si ha poi, direttamente, 
yrb=ceb+H(v,a)b=ma+vXb.a=wa, 
cioè la (13); e da questa, applicando l'operatore Ka e poi RKa, si deducono 
la (14) e la (15). 
Notiamo da ultimo: 
se u è un vettore funzione di P e di f che mediante Z si trasforma 
nel vettore u' tale che 
(16) '=yU, 
risulterà 
(17) uXv=uXbH4muXv 
e, inversamente, 
(16) u=yu' 
(17) uXv=—uwXaH4+mu Xv. 
Infatti, pel teorema di commutazione (I, pag. 32). dalla (16) deduciamo 
uXva=vXyu=uXKyv'; 
e poichè, per le (9), (2) e (3), 
Kyv= Kav+baXv.v=%xv4+b+(m_-#)v=b+mv, 
così risulta la (17). Le (16’) e (17°) si deducono al modo solito da (16) 
e (17); e dal confronto colle (1) del $ 1 risulta pure l'invariante 
u°-(uXv)=u— (uXv)?. 
