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Osserviamo, infine, che il ragionamento precedente presuppone l'ipotesi 
{>1, che però risulta in definitiva superflua, dato che, se g=1, la V 
contiene in ogni caso un fascio irrazionale (ellittico) di superficie (*). Si può 
dunque affermare che: 
Se /ra il genere jeometrico P,, il genere aritmetico Pa, e l'irrego- 
larità bidimensionale | > 0 d'una varietà V a tre dimensioni intercede 
la disuguaglianza 
(II) Pho—P,=qG9—4, 
la varietà possiede un fascio irrazionale di superficie che, se non è q=1 
(nel quale caso il fascio è ellittico), ha %l genere almeno eguale a due. 
2. Qualche conseguenza delle due disuguaglianze trovate. — Consi- 
deriamo dapprima una varietà V a tre dimensioni, con P,=1 e g>3. 
Siccome tali caratteri verificano la disuguaglianza (I) della precedente Nota 
(n. 2), così, in base al teorema là dimostrato, possiamo concludere che V 
contiene uno dei sistemi seguenti: 
a) congruenza, o fascio (*), d'irregolarità (genere) %; 
6) congruenza, o fascio, d' irregolarità (genere) 9 — 1; 
c) fascio di genere 7 — 2. 
Dimostriamo ora che sì verifica sempre il caso a). Nell'ipotesi c), poichè, 
per il teorema sopra ricordato, il genere del fascio è = 2, e d'altronde g è 
= 4, sì potranno su V considerare quattro integrali semplici di 18 specie, 
linearmente indipendenti, %1,%2,%3,%,, dei quali i due primi si mantengono 
costanti lungo le superficie del fascio, e gli altri due no. Ma allora, non 
potendo i due determinanti 
Risi raGRI Pari 0, UR 
dUi 
P:,Q3, R3 , PIA ONUR: , Pia, 000. 
CAI 
RA o, P,,Q,.R, 
essere linearmente indipendenti, perchè ciò porterebbe P,= 2, il determi- 
nante 
P,+4P:, Q +40: , R+4R, 
P. 9 Qi . Rs 
1; . Qi . Jas 
sarà identicamente nullo, per un conveniente valore Z, di Z. Posto allora 
u='u 25%» (*) si dovrà verificare uno dei due casi seguenti: 
(!) Cfr. l’osservazione alla fine del n. 1 della precedente Nota. 
(°) Scriviamo brevemente, qui e nel seguito, congruenza, o fascio, in luogo di comn- 
gruenza irregolare, d'indice 1, di curve algebriche, o fascio irrazionale di superficie 
algebriche. 
(*) S'intende che potrà anche essere Zn:= 00, cioè u—= us. 
RenpICONTI. 1918, Vol. XXII, 2° Sem. 50 
