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1°) #, uz, sono funzionalmente dipendenti senza che lo siano due 
tra essi. Allora V possiede una congruenza X, la cui irregolarità è >qg—1 
(Nota precedente, n. 2); 
2°) due fra gl'integrali %,%3,v, sono funzionalmente dipendenti. 
Siecome non possono esserlo %,u3, e neppure %,%4, perchè in tal caso %3, 
oppure 4, si manterrebbero, contro l'ipotesi, costanti lungo le superficie 
del fascio appartenente a V, così sarà u3 funzione di u,. Ma, allora, entro V 
si avrà un altro fascio di superficie, lungo cui si manterranno costanti w3,%4. 
e l'intersezione dei due fasci genererà una congruenza di curve che risulte- 
ranno di livello costante per tutti gl'integrali semplici di 1 specie appar- 
tenenti a V. Tale congruenza avrà dunque l'irregolarità g. 
Siamo dunque ricondotti ai casi a), 2). Per esaminare il secondo di 
questi, distingueremo due sottocasi: 
a) V possiede un fascio ® di genere y — 1. Allora si possono consi- 
derare su V g— 1 integrali semplici di 1 specie, linearmente indipendenti. 
Un 3 Ug, ++, Ug-1, ciascuno dei quali ha 2(4 — 1) periodi e si mantiene co- 
stante lungo le superficie di ®; e perciò V possiede un ulteriore integrale 
(semplice, ecc.) vg, riducibile ad ellittico : cioè contiene un fascio ellittico ® 
di superficie w, = cost. L'intersezione dei due fasci D , d dà dunque luogo 
ad una congruenza d'irregolarità %. 
8) V possiede una congruenza X d'irregolarità g — 1 e (quindi) un 
fascio ellittico © le cui superficie non sono composte con curve di X. Allora, 
mediante l’ intersezione dei due sistemi X, 4 si genera su V un'involuzione 
birazionalmente identica alla varietà W delle coppie di punti d’una super- 
ficie F d'irregolarità 9 — 1 e d'una curva ellittica C. Poichè ogni integrale 
triplo di 12 specie appartenente a W si trasforma, mediante la sostituzione 
razionale che intercede fra le coordinate dei punti di W e quelle dei punti 
di V, in un integrale analogo appartenente a V, così il genere geometrico P; 
di W sarà <= 1; e siccome esso risulta eguale al prodotto del genere di C 
per il genere geometrico py di F ('), così si avrà pg = 1. D'altronde l'irre- 
golarità bidimensionale di W è eguale a quella di V (perchè ogni integrale 
semplice di 1 specie appartenente a V riprende, a meno dei periodi, lo 
stesso valore nei punti di un gruppo dell'involuzione considerata, e quindi 
proviene da un integrale analogo di W), cioè è > 3, e perciò il genere 
aritmetico di F risulta < — 1. La superficie F_ è dunque riferibile ad una 
rigata di genere 7 — 1 (?), alle cui generatrici rispondono su W e su V 
le superficie d'un fascio ® che si comporta come in a). 
(1) Severi, Fondamenti ecc. (citata), n. 28. 
(3) Castelnuovo; Sulle superficie ecc. (citata), n. 4; Enriques, Sulle superficie al- 
gebriche che ammettono un gruppo continuo di trasformazioni birazionali in se stesse 
[Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, tom. XX (1905), pp. 61-72], n. 1. 
