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Si conclude, in definitiva, che le varietà V a tre dimensioni, con P,= 1 
e g>83, presentano sempre il caso a). Siccome, d'altronde, il caso stesso si 
presenta per g=1,2 ('), ed anche per g= 3, fatta, in quest'ultima ipo- 
tesi, eccezione per le varietà che contengono un'involuzione birazionalmente 
identica alla propria varietà di Picard (*), così possiamo enunciare che: 
Le varietà algebriche a tre dimensioni di genere geometrico Pg="1 
e l’irregolarità bidimensionale «> 0 contengono una congruenza d'in- 
dice 1, e d’irregolarità |, di curve algebriche, 0 un fascio di genere | 
di superficie algebriche; ovvero hanno l'irregolarità bidimensionale q=3 
e sono trasformabili razionalmente nella relativa varietà di Picard (*). 
Consideriamo ora una varietà V, a tre dimensioni, avente l'irregolarità 
tridimensionale negativa (P3 < Pa). Se è g>2 ovvero g=2, e P,— Pa< 
<—1,i caratteri di V soddisfano la disuguaglianza (II) di questa Nota, 
e perciò V possiede un fascio irrazionale di superficie (di genere => 2), che 
esiste, come è noto, anche per 7= 1 (nel quale caso è ellittico). 
Supponiamo ora, che sia g= 2, Pj> —— Pa=—1. Allora, se V non 
possiede un fascio di genere 2, essa conterrà, per un citato teorema di 
Severi. una congruenza X d'irregolarità 2. Indichiamo con F una superficie, 
di generi py, Pa, imagine della congruenza. 
Poichè, mediante un noto procedimento (4), da ogni integrale doppio di 
1* specie appartenente ad F possiamo dedurre un integrale analogo di V, 
e, in virtù della (8), il numero di questi integrali è, su V, <= 1, così sarà 
Pg = l. Ma il caso pg = 0, pa = — 2 si scarta perchè F sarebbe riferibile 
ad una rigata alle cuì generatrici risponderebbero, su V, superficie variabili 
in un fascio di genere 2; dunque sarà pg = 1, pa = — 1. Concludiamo che: 
Le varietà algebriche a tre dimensioni d'irregolarità tridimensionale 
P,—P negativa, e d'irregolarità bidimensionale { positiva, contengono 
un fascio irrazionale di superficie che, se q>1, ha il genere almeno 
eguale a due; ovvero hanno l'irregolarità bidimensionale q= 2, l'irrego- 
larità tridimensionale P, — Pa = — 1, e contengono una congruenza d'in- 
dice 1 di curve algebriche, avente i generi pg=1,pa= — 1. 
In quest'ultimo caso, mediante l' involuzione generata su V dalle inter- 
sezioni delle curve appartenenti alla congruenza, colle superficie d'un fascio 
razionale, la V si può trasformare razionalmente nella varietà W delle 
(*) Severi, Sulle superficie e varietà algebriche di genere geometrico nullo [Questi 
Rendiconti (5), tom. XX (1911), pp. 537-546], n. 6. 
(*) Severi, Relazioni ecc. (citata), n. 6. 
(*) Una varietà di Picard a tre dimensioni e a moduli generali ha precisamente 
oi = 8, e non contiene alcun sistema d’indice 1 di varietà subordinate. 
(*) Cfr. Severi, Fondamenti ecc. (citata), n. 27. 
