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delle coppie di punti di C, C:; e, salvo speciale avvertenza, la corrispondenza 
potrà essere indifferentemente effettiva o virtuale (di indici positivi, nulli, 
e negativi). 
Ricordiamo che una corrispondenza T a valenza zero (T = 0) dà origine 
su F all'equivalenza lineare T= T, + T, in cui T, e T,, sono i gruppi (anche 
virtuali) delle K, e delle K, uscenti dai punti in cui T è segata da una 
fissata K, e da una fissata K, ('). 
Due corrispondenze si diranno equivalenti quando la loro differenza è 
a valenza zero; residue, se è a valenza zero la loro somma. 
Sì osservi subito che: Data una corrispondenza virtuale, esistono certo 
corrispondenze effettive e irriducibili, ad essa equivalenti e residue. 
Sia infatti A — B la curva virtuale immagine della corrispondenza. Se A‘ 
indica una qualsiasi curva residua di A, cioè tale che A+ A'=0, si co- 
struisca, sommando due convenienti serie lineari contenute nei fasci }K,_{}K,}, 
un sistema lineare così ampio da contenere parzialmente A"-+ B e da lasciare 
come residua una curva T irriducibile e priva di punti multipli. Dalle equi- 
valenze A--+-A'=0, A'4+-B+T=0, si deduce T—(A—B)=0, cioè 
T è equivalente ad A — B. 
Operando analogamente su B si giunge ad una corrispondenza residua. 
2. Si può dare, dal punto di vista dell'ana/ysis situs, una semplice 
interpretazione della corrispondenza a valenza zero. 
Sia T una corrispondenza (x, v) effettiva fra i punti delle curve C, C.. 
Se un punto x di C, descrive un ciclo o, i punti del gruppo corrispondente G, 
sì permutano fra loro, ed è chiaro che ciascuna sostituzione circolare in cui 
si scompone la sostituzione prodotta sui punti di G, equivale ad un ciclo 
di C,; la somma dei cicli così ottenuti darà un ciclo 0’ che diremo 07200090 
di o per la T. Orbene: Za condizione perchè T sia a valenza sero, è che 
ogni cielo di C, abbia sempre per omologo in Cs un cielo nullo. 
Sia infatti w un integrale di 1* specie qualsiasi di C,, e si consideri 
la somma %w%(Y1) + w(Y2) + --- + w(4) dei valori che esso assume nei punti 
di Gy. Essa sarà un integrale di 1® specie W(x) di C,; e dal fatto che il 
periodo di W relativo al ciclo o è uguale al periodo di w relativo all'omo- 
logo a’, segue facilmente l’asserto. 
Se il generico gruppo Gy contiene punti multipli, in o’ deve esser con- 
tata 7 volte ogui componente che deriva da una sostituzione ciclica su punti 
di molteplicità 7. 
Se poi la T è virtuale, cioè Gy = Gy — Gyr, basta porre W(x) uguale 
alla differenza fra le somme dei valori di w nei punti di Gy e di Gyr: e 
la proprietà continua a sussistere purchè, nella costruzione di o’, si muti il 
(1) Severi, Sulle corrispondenze fra i punti di una curva algebrica, e sopra certe 
classi di superficie. Memorie della R. Accademia delle Sc, di Torino (2), tom. 54 (1903). 
