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senso alle componenti che derivano dalla sostituzione prodotta sui punti 
di Gy ò 
Di qui discende che: Data sopra una curva C di genere p una cor- 
rispondenza T a valenza y, e detto 0' l'omologo per la T di un ciclo ar- 
bitrario o, sarà 0 = — yo. 
Ritroviamo infine per questa via la seguente proprietà dimostrata recen- 
temente da Severi (*): Ogni corrispondenza dipendente dall’identità è a 
valenza. 
Si supponga, infatti, che l'identità e una corrispondenza T dipendano 
secondo i numeri /, 7; e indichi o’ l’omologo perla T di un ciclo arbitrario o. 
Se o e o' sono legati ai 2p cicli 0, 0,... 6), di un sistema primitivo dalle 
relazioni 
O =71014 7202 4-4 r2p0%p 
o'= 810,4 500° +-+ Sp 09 
dall'ipotesi fatta discendono le uguaglianze 
lrrH- msi = 0, (MZ) 
le quali, poichè gl'interi 7; sono arbitrarî, esigono che sia / multiplo di m. 
Posto allora /=ywm, esse divengono 
pre +si=0, (i=1,2,...,2p) 
da cui sì deduce che o' = — yo, cioè che la T possiede la valenza y. 
3. Diremo carattere di Castelnuovo 0 carattere 2 di una corrispon- 
denza T di indici @,#, e grado virtuale v, la differenza 2a8 — ». 
Dimostriamo ora il seguente 
TEOREMA (°). — /l carattere £ di una corrispondenza T è =>. 0; ed 
è nullo allora, e soltanto allora, che la T è a valenza zero. 
Poichè due corrispondenze equivalenti o residue hanno lo stesso carat- 
tere  (*), per la proprietà del n. 1 potremo supporre che la curva T, im- 
‘ (1) Severi, Sopra alcune proprietà aritmetiche delle corrispondenze fra i punti di 
una curva algebrica. Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, vol. 48 (1912-1913). 
(2) Il quale è di Severi e trovasi nella sua Nota ultimamente citata. La dimostra- 
zione che egli ne dà è indipendente dal criterio di Castelnuovo, ed è fatta allo scopo dì 
ritrovare per altra via il criterio stesso. Qui mostriamo invece, perchè ciò è più conforme 
all’indole del nostro lavoro, come ad esso si riduca immediatamente il teorema enunciato. 
(*) Per due corrispondenze residue T” T” ciò si prova subito, serivendo l'equivalenza 
T4T"=(T+T)+(T,+T"), segando poi i due membri con T' e T” e confron- 
tando infine le uguaglianze ottenute. Se T’ e T” sono equivalenti, basta osservare che una 
residua dell’una lo è anche dell'altra. 
ReENDICONTI. 1913, Vol. XXII, 2° Sem. 
Ut 
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