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Assodata la possibilità di occuparci del caso generale, trattando il caso, 
di particolare apparenza, relativo alle serie, nol subito osserviamo che, per 
esempio, la serie 
< OO S(hr+1)x 
te coi 
v=l 
#4 a : ; dd 3 
rappresenta, nell'intervallo (0,1), la funzione continua ;—— ; ora il suo 
1a 
SR0 BY/AL 
R,-;(4), cioè il suo resto un(x) + un+:(£2) + %n+s(e) +: vale piega) 
ed è chiaro che per nessun 7 fisso si può pretendere che, indipendentemente 
DMI 
1+n? ° 
tale relazione, traducendosi nella seguente: 
neo <VH-ntet 
. E i . i 1 
o anche nx < (1— na), ci interdirebbe, per esempio, di assumere ET 
da x, sia <&. Anche nella generosa ipotesì espressa da «==1, 
Per trovare una semplice condizione, che sia sufficiente ma anche ne- 
cessaria alla continuità della serie, supponiamo, come prima, che le fun- 
zioni (4) , us(x), 43(£),... formino una serie s(x) = (2) + (2) + - 
convergente in ogni punto di un intervallo finito (a, 2), e che siano continue, 
ognuna per proprio conto, nel punto £ di quest’ intervallo. Imponiamo allora 
la condizione seguente: 
A) Fissato, così piccolo come si voglia, un numero positivo #, esi- 
stano, corrispondentemente, un numero positivo %X ed un numero naturale 7, 
tali che, per ogni x, appartenente ad (a ,d) ed atto a verificare la rela- 
zione |r — é|=%, sia |Ra(@)|<&- 
Questa condizione (valide le relative premesse) è necessaria e sufficiente 
per la continuità della serie s(x) nel punto È. La sufficienza è evidente; 
la necessità si può subito dimostrare per assurdo. Supponiamo che s(%) 
sia continua in È e che la condizione A) non valga. Allora, a cagione della 
supposta con\«rgenza della serie nel punto £, si potrà, con opportuno x fisso, 
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porre |R,($) i ma, negando la condizione A), si deve ammettere che 
sempre esisti. nelle più immediate vicinanze di È, qualche x atto a veri- 
ficare la relazione |R,(2)| =. Ora, se 2 e & sono abbastanza vicini, si 
può scrivere \sn(2) — sn <> perchè s,(x) è una somma finita di fun- 
zioni continue. Ma allora s(x) — s(£), cioè s,(4) — Sn(é) + Ra(0) — Ry(5), 
£ 
supera, in valore assoluto, la grandezza 3; resta dunque assurdo che s() 
sia continua in È. 
A titolo d'esercizio, si può aggiungere qualche considerazione impor- 
tante. Supponiamo che la condizione A) valga in ogni punte di (a, è); sia 
