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fissato «, e si chiamino %, ed 7, il numero % ed il numero x della condi- 
zione A), relativi qui al punto a; si chiamino %, ed , quelli relativi al 
punto a+ X,; poi %s ed x: quelli relativi al punto « + k + 2, ecc. Dico 
che si potranno determinare questi tratti £,,%a,%s,.., in numero /iz00, 
in modo che ripartiscano tutto l'intervallo (4,4). Infatti, se dovessero ne- 
cessariamente assumersi in numero infinito, i loro estremi di destra avreb- 
bero un valore limite & = 2: dunque non si potrebbe (per colpa dei punti 
posti all'immediata sinistra di £) far corrispondere a $ un % tanto piccolo 
da verificare la 4). Osserveremo, ancora, che la funzione By(@), relativa ad 
un arbitrario numero naturale fisso N, risulta anch’esas continua: dunque 
vale anche per la serie Ry(x) la condizione 4); ed allora la A) stessa sì 
può enunciare come segue: fissati ad arbitrio il numero positivo e ed il 
numero naturale N, esiste una ripartizione di (4,2) in un numero finito 
di tratti %,,%:,...,%m tali che (in ognuno di essi indipendentemente da ©) 
si possa scrivere |Rn,(0)]<,|Rn.(2)|<,.-:|Rnm(®)|<#, dove i numeri 
Mi Mx 3 Nm Siano m numeri maggiori ognuno di N. Nei punti di confine 
deve valere l'uno e l'altro dei due numeri » relativi ai due tratti che vi 
fanno capo. Questa condizione (convergenza uniforme a tratti), che soltanto, 
dunque, in apparenza differisce dalla condizione A), fu trovata dal profes- 
sore Arzelà, di buona ed onorata memoria; il prof. Vivanti ne ha dato una 
semplice dimostrazione diretta. L'enunciato A) mi pare vantaggioso, sia per 
la semplicità, sia per la più agile applicabilità a questioni più generali. 
Di queste cose ho già fatto cenno nei Rendiconti dell'Accademia di 
Porto, e nei miei numerosi corsi. Richiamo ora su di esse l’attenzione di 
quest’ illustre Accademia, per mettere in luce, più che per altro, alcuni 
concetti immediatamente applicabili ad utili ed operose ricerche, special 
mente in un'eventuale raffinata applicazione ad importanti casì particolari. 
Geometria. — Su alcuni teoremi di geometria piana ana- 
loghi a quelli di Max Dehn nella geometria solida. Nota del 
prof. G. Vacca, presentata dal Socio V. VOLTERRA. 
Dopo le classiche ricerche di G. Sforza e di Max Dehn, le quali hanno 
dimostrato la impossibilità di evitare processi infinitesimali, per dimostrare 
l'eguaglianza di volume di due piramidi di egual base ed eguale altezza, e 
le semplificazioni (*) successivamente apportate alla dimostrazione definitiva 
di Max Dehn, appariva tuttavia alquanto oscura l'intima ragione del come 
l’inevitabilità di processi infiniti sia collegata coi problemi dell'eguaglianza 
dei volumi di poliedri, mentre nulla di analogo si conosceva nel piano. 
(*) Per la bibliografia completa, si veda: Amaldi, Sulla teoria della equivalenza 
in Questioni riguardanti le matematiche elementari, di F. Enriquez. Bologna, Zani- 
chelli, 1912, 7ol. I, pp. 173-190. 
