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Sono riuscito ora a trovare un parallelismo assai notevole, conducente 
a dimostrazioni dello stesso tipo di quello di Max Dehn, nella geometria 
piana. 
Basta perciò far corrispondere alla sovrapponibilità mediante un moto 
elicoidale, nello spazio, di due poliedri, quella, nel piano, di due poligoni 
piani, per mezzo di una traslazione. 
Ho dovuto perciò introdurre il concetto di eguaglianza per traslazione, 
che nel piano corrisponde alla eguaglianza per semplice sovrapposizione nello 
spazio. 
È stato inoltre necessario di introdurre un nuovo concetto astratto di 
angolo, il quale, a mia conoscenza, non aveva ancora formato oggetto delle 
ricerche nei geometri. 
Ho così ottenuti alcuni teoremi, la cui dimostrazione, alquanto più sem- 
plice di quella dei corrispondenti teoremi della geometria solida, può con- 
tribuire a meglio rendere conto dell’intima essenza dei problemi di questo 
genere. 
Questi teoremi sono probabilmente veri anche senza la condizione restrit- 
tiva che è occorsa per la dimostrazione che qui ne ho data. Però non sembra 
facile toglierla, seguendo la via da me qui esposta. 
I. Angoli orientati. — Concepisco l'angolo piano come una gran- 
dezza avente soltanto una determinata orientazione. In questo senso dirò 
eguali due angoli rivolti dalla stessa parte ed aventi i lati paralleli e rivolti 
dalla stessa parte. 
A questa grandezza mi pare opportuno di dare il nome di angolo orzertato. 
In seguito, dovendo parlare soltanto di angoli di questa specie, per brevità 
li chiamerò soltanto @r90/7, quando non vi sia luogo ad equivoci. 
Gli enti considerati sono suscettibili di somma. Se due angoli orzentati 
hanno un lato dell’uno parallelo, e rivolto dalla stessa parte ad uno del- 
l’altro, la somma di questi due angoli sarà l'angolo somma di questi due 
nel senso euclideo, soltanto se i due angoli sono orientati da bande opposte 
del lato parallelo. Se invece sono orientati dalla stessa banda del lato pa- 
rallelo, come loro somma potrà anche intendersi il minore dei due angoli 
contato due volte, ed inoltre la differenza (nel senso euclideo) tra il mag- 
giore e il minore. 
Il doppio di un angolo sarà l'angolo stesso contato due volte (e non già 
un angolo avente ampiezza doppia). E parimenti, se m è un numero intero 
positivo, m volte un angolo orientato è soltanto l'angolo stesso contato 
m volte. 
Rimane sempre vero, come per gli angoli euclidei, che se un angolo 
si divide in parti con semirette uscenti dal vertice ed interne all'angolo, 
esso è somma delle sue parti. Ma se due angoli orientati hanno la stessa 
ampiezza, ma non sono egualmente orientati, essi potranno avere eguale sol- 
tanto la parte egualmente orientata in ciascuno di essi. 
