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Si ha così una specie di decomposizione di una rotazione apparente, in 
un numero finito di traslazioni. 
III £quaglianza per traslazione di triangoli. — Ma le cose proce- 
dono in modo completamente diverso per due triangoli di egual area. Infatti, 
è bensì evidente che si possono decomporre in un numero infinito di parti 
eguali per traslazione due triangoli di egual area; ma la decomponibilità in 
un numero finito di parti non è sempre possibile. La ragione di questa im- 
possibilità appare, quando si consideri perchè sia invece possibile la decom- 
posizione, in an numero finito di parti eguali per traslazione, di due parallelo- 
grammi di egual area. La somma degli angoli (interni) orientati di un pa- 
rallelogrammo è infatti eguale a quattro angoli retti adiacenti, aventi il 
vertice comune (che chiameremo, più brevemente, un angolo infero). 
Se ora supponiamo, per un momento, che la decomposizione in poligoni 
parziali sia possibile senza che alcun vertice delle parti cada sul contorno 
dei due parallelogrammi, o entro i lati di alcuna delle 
parti adiacenti, subito si vede che la somma di tutti 
gli angoli orientati di ciascuna delle parti, in cui è 
decomposto ognuno dei due parallelogrammi, è eguale ad 
un numero intero di angoli <rferz. Infatti formano un 
angolo intero gli angoli delle parti attorno ad ogni ver- 
tice interno al parallelogrammo considerato, e formano 
pure un angolo intero i quattro angoli del parallelo 
grammo. i 
Una ulteriore analisi porta alla considerazione del 
caso in cui un certo numero di vertici delle parti cade 
sui lati di uno dei parallelogrammi, o sui lati di qualche 
parte adiacente. Ma è inutile di proseguire, perchè già 
sappiamo, dalla geometria elementare, che tale decomposizione è pos- 
sibile. 
Appare invece subito l'impossibilità della decomposizione in un numero 
finito di parti di due triangoli simmetrici (tig. 2) rispetto ad un vertice, ABC, 
A'B'C', se la decomposizione si volesse fatta in modo che entro a ciascuno 
dei due triangoli cadesse un egual numero di vertici dei poligoni parziali, e 
nessun vertice sui lati di alcuno di essi. In tal caso, infatti, dovendo la somma 
degli angoli orientati di tutte le parti di AC essere eguale a quella di tutti 
gli angoli orientati delleparti di 4’5"C", ed essendo la somma degli angoli 
attorno ai vertici interni di ABC eguale a tanti angoli interni quanti sono 
i vertici, e tale pure essendo la somma degli angoli interni ad A'B'"C", do- 
vrebbe la somma degli angoli del primo triangolo essere eguale a quella 
del secondo, A+ B+C= A'"+ B'+ C*. 
Ora, tale eguaglianza è manifestamente assurda, secondo la definizione 
data di angolo orientato. 
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