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IV. — Esige un'analisi un po' più complicata il caso in cui entro ciascuno 
dei due triangoli cada un numero diverso di vertici, e su ciascuno dei lati 
cada un certo numero di vertici della rete di decomposizione. 
Introdurremo perciò il concetto di decomposizione annodata. Diremo cioè 
annodate le parti di un poligono decomposto in poligoni parziali adiacenti, 
se ogni vertice di un poligono parziale interno al poligono è anche vertice 
di tutti i poligoni ad esso adiacenti attorno a quel vertice. Dimostreremo 
allora il teorema: 
È impossibile di decomporre in un numero finito di parti annodate 
ed eguali per traslazione, due triangoli simmetrici rispetto ad un punto. 
Supponiamo infatti possibile tale decomposizione ed effettuata. Sia 7 
il numero dei vertici della rete poligonale che divide ABC, i quali cadono 
entro ABC, ed inoltre cadano # vertici di essa sul lato BC, n sul lato AC, 
e p sul lato 45, e siano analogamente 7°, 1°, 2', p' i numeri corrispondenti 
per il triangolo A” B' C'. 
Gli otto numeri 7, m, x, p, 7", m', n', p sono quindi interi positivi, od 
alcuno di essi anche nullo. Detti A, B, €, A’, B', €’, i sei angoli dei due 
triangoli, la somma di tutti e sei sarà eguale ad un angolo 2rtero. Ed inoltre 
un angolo piatto avente il vertice BC, ed interno al triangolo A5C, sarà 
eguale a 4'+ 8 + Cc, ed analogamente per gli angoli piatti situati sugli 
altri lati. Dovendo quindi essere egnali le somme di tutti gli angoli orien- 
tati di tutte le parti in cui i due triangoli sono divisi, avrà luogo la se- 
guente eguaglianza: 
m(4A'+B+C)tn(A+B'+0)+tp(4+5B+0)+ 
+r(4+B+C+4"+8+0)+A4+B+C= 
m(A+B+ 04 n (4'+B+0)+p'(4'+B'+0)+ 
+7 (A+B+C+4"+B'+0)+4'+B"+C" 
Ora, i sei elementi A, 8, C, A”, B', C', sono, per loro natura, del tutto 
diversi tra loro; quindi, affinchè la precedente eguaglianza abbia luogo, do- 
vranno essere eguali tra loro i coefficienti di questi sei elementi, ciascuno a 
ciascuno; cioè: 
\ nutp+trtl=m+ A Aaa 
Lan panda ia gara Ur aa 
| TRARRE MA de pair 
Ora si noti che è lecito di supporre 7 = 7" (basta per ciò chiamare trian- 
golo 4BC quello appunto per cui 7 = 7”. ed -1'B C' l'altro). 
Sostituendo allora nella sesta di queste eguaglianze i valori di m' ed 7° 
ricavati dalla prima e dalla seconda, si ha: 
m+a+p+(—)+8=0, 
