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TrorREMA. — È regolare una superficie P la quale possegga un fascio 
lineare È privo di curve spezzate e dotato di due punti base (distinti) A,B, 
semplici per ciascuna sua curva, la cui curva generica sia priva di cor- 
rispondenze simmetriche singolari (*). 
Non si fa alcuna ipotesi sulla variabilità della tangente in A o in B 
a una curva variabile di X, nè sull'esistenza di altri punti base qualsiansi 
(distinti da A, B). 
Si osserverà che la generica curva di X è certo priva di corrispondenze 
simmetriche singolari, se ne è priva una particolare curva di X, avente 
lo stesso genere effettivo della generica. 
2. Per dimostrare il teorema enunciato, prendiamo a considerare su F 
an sistema co! ,S,.di curve seganti la generica curva C di 2 in un certo 
numero x > 1 di punti variabili, non avente come punto base A nè B; sia 
l’indice di S. Noi mostreremo che le curve di S sono necessariamente fra 
loro equivalenti; dal che seguirà subito il nostro teorema. 
Il sistema S segherà sulla generica C una serie y},, di indice v, priva 
di punti multipli variabili; e la corrispondenza simmetrica che si ha su C 
chiamando omologhi due punti allorquando appartengono a uno stesso gruppo 
di y},, avrà, per ipotesi, valenza. Sia v — e (con s = 0) questa valenza (*): 
sarà #=0 allora, e solo allora, che i gruppi della y}, siano fra loro equi- 
valenti (Severi); ossia allora e solo allora che siano fra loro equivalenti le 
curve di S (Severi). 
E se M,N sono le v-ple di curve di S uscenti rispettivamente da A , B, 
avremo sulla generica C 
(1) (MC) — sA=(NC)—«B. 
Trasformiamo adesso la nostra superficie F, che supponiamo priva di 
singolarità in un iperspazio, in un’altra F', pure priva di singolarità, in 
guisa che i due punti A, B si mutino in due curve eccezionali A’, B', dello 
stesso ordine; e non vi siano altri elementi fondamentali per la trasforma- 
zione. Ciò può ottenersi ad es. trasformando la F mediante il sistema delle 
ipersuperficie di ordine abbastanza elevato passanti per A, B. 
Dette C' le trasformate delle C, depurate delle A", B', il fascio delle C' 
sarà privo di curve spezzate. 
Alle curve M,N di F corrispondono su F' due curve contenenti come 
parti rispettiv. le vA", vB': siano dunque vA"+ M", vB'-+ N’ tali curve. 
(') Ricordiamo che una curva può possedere corrispondenze singolari senza che 
alcuna di queste sia simmetrica. Per es., su una curva ellittica qualsiasi le corrispondenze 
simmetriche sono sempre a valenza (Severi). 
(3) Cfr. la mia Nota Sulle varietà di Jacobi (Nota II, in questo stesso fascicolo), n. 5. 
