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La classe F(v,v) può essere definita, in modo assai semplice, mediante 
il concetto di operatore, nel seguente modo: 
(6) u,veCls:o-F(u, 0) = 
—weigOp(w,0)ofe[w=(0;/2)|etu]i. 
Ma, viceversa, dalla definizione (a) di F(u,v) è impossibile di dedurre il 
concetto di operatore, perchè in (a) non è contenuta l’idea primitiva grafica 
sopra indicata. Non esiste perciò identità tra gli enti rappresentati da 
F(u,v) e Op(u,v); il primo contiene meno del secondo l'idea primitiva 
grafica, e quindi non deve fare meraviglia se dal primo sia impossibile de- 
durre, senz'altro, il secondo, mentre dal secondo si deduce, senza altri ele- 
menti, il primo. Ciò era importante di stabilire, sia per le osservazioni che 
seguono, sia per constatare come la (1) dà, in modo logicamente esatto, il 
concetto di operatore (o di funzione monodroma) sotto la sua forma più 
semplice possibile e, va notato, sotto la forma propria dell'uso comune. 
Giova ancora porre maggiormente in evidenza l’intima relazione tra le 
classi Op (w,0) e F(v,v). Un elemento / di Op(v,v) determina una classe 
di F(u,v) sotto la forma («;/x)|x4w, ed una sola; cioè, sottintendendo 
l'ipotesi u, vs Cls, 
(7) feOp(u,v):0-[(2;/e)|etw]eF(u;v); 
(77) f.,ge0Op(u,v):xeu-da'fa=ge:9° (€ vole (I) 
Viceversa, data una classe w appartenente a F(u,v), resta determinato un 
solo elemento / di Op(«,v) che dà w=(@;/e)|x*w, cioè: 
(8) weFlu,v)-0-HOp(v, 0) 0fsjw=(x;/2)|e'% 
(8) weF(u,v)-f,ge0Op(u,0) w=(a;/2)|c'u=(0;92)| ew 0: 
ceu:Ian' fa= 92. 
In particolare risulta che tra le due classi Op(w,v) e F(u,v) può 
stabilirsi una corrispondenza univoca e reciproca (*), e quindi, ad es., che 
il numero (finito o infinito (cardinale)) degli Op(,v) è identico al numero 
degli elementi (classi di coppie; le w) di F(w, 0). 1 
$ 2. Come il concetto di relazione, posto dal Russell quale base logica, 
possa essere espresso mediante ì simboli ideografici del Formulario, e come 
da esso si possa dedurre la fonetio definita [esattamente la nostra classe 
F(u,v)] è già stato indicato dal Peano, (II), e non stiamo qui a ripeterlo. 
Noi vogliamo soltanto fare vedere come dal concetto semplice e usuale di 
operatore, sì possa dedurre quello di relazione e, contrariamente a quanto 
(1) Formularii, (II), (III), (IV), (V). È chiaro che per la classe Op(u,), identica 
a vfu, si possono stabilire i concetti di sim (simile), rep (reciproca) come nel For- 
mulario. 
