— 599 — 
Ora, per quanto riguarda la compatibilità, i lavori del Lebesgue stesso 
permettono di dare una risposta affermativa, perchè gli integrali che egli 
insegna a costruire soddisfano a tutte le sei condizioni. Resta invece inso- 
luta la questione dell’indipendenza. Per discuterla, occorre osservare che 
nell'enunciato della VI si debbono analizzare due parti: 
a) un enunciato implicito che afferma l'esistenza dell’integrale della 
funzione limitata /(x), limite di una successione monotòna di funzioni /,(4), 
ciascuna limitata e integrabile (?); 
B) un altro enunciato esplicito che asserisce la validità della formula: 
b b 
lim È fn) (da 
mn=0% </a 
sotto le stesse condizioni. 
Il primo riguarda la delimitazione del campo delle funzioni a cui si 
applica l'operazione « integrale »; il secondo riguarda una proprietà dell'ope- 
razione. 
Prendendo a considerare le due parti separatamente, mostrerò, in questa 
Nota che la parte «) è effettivamente indipendente. In una Nota successiva 
mostrerò, invece, che per la parte f#), in un campo abbastanza esteso anche 
di là dal campo Riemanniano, la questione si risolve in favore della di- 
pendenza. 
Esaminare l'indipendenza della parte «), significa ricercare se esiste 
una operazione funzionale che soddisti aì primi cinque postulati senza sod- 
disfare la parte «) del postulato VI cioè tale che il suo campo di esistenza 
essendo chiuso rispetto ai primi cinque postulati (cioè l'applicazione della 
loro parte esistenziale non faccia esorbitare dal campo; per es. se il campo 
contiene due funzioni, contenga anche la loro somma, ecc.) non lo sia ri- 
spetto al postulato VI. 
L integrale di Riemann, risolve facilmente il quesito (*). Infatti la 
(*) Anche nell’enunciato delle (I), (II), (111) e (IV) è inclusa la questione dell’esi- 
stenza; però essa ha, negli ‘assiomi (1) e (IV), un tale carattere di necessità che non può 
essere dubbia l’interpretazione. E, per contro, la (II) è evidentemente condizionata alla 
esistenza, cioè si asserisce la non negatività dell’integrale, quando esso esiste. E simil- 
mente la proprietà (IT) del trasporto non ha senso se non per le funzioni integrabili. 
(®) È appena necessario osservare che anche l'integrale di Cauchy (definito per le 
funzioni: continue) e l'integrale di Dirichlet-Lipschitz (valevole per le funzioni che hanno 
per punti di discontinuità i punti di un insieme riducibile) sono operazioni funzionali 
che verificano i postulati I-V, e non soddisfano la parte @) del VI. Considerando anche 
l'integrale di Duhamel e Serret, definito come la funzione primitiva della funzione pro- 
posta, « se intendiamo per funzione primitiva quella che in ogni punto ha per derivata 
la funzione data », si ritorna a definire l'integrale delle funzioni continue, e si arriva alla 
stessa conclusione. 
il <««=«- z-mner i mere 
—- 
