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condizione di Arzelà (*) necessaria e sufficiente affinchè una successione con- 
vergente qualunque di funzioni integrabili RK, definite tutte in un intervallo, 
abbia per limite una funzione pure integrabile R, è /a quasi uniforme con- 
vergenza in generale, cioè la quasi uniforme convergenza in tutto l’inter- 
vallo, diminuito di un numero /i/0 d'intervalli parziali, la cui somma 
abbia una lunghezza arbitrariamente piccola. Adottando la locuzione già 
usata da Osgood, da Schoenflies, da Hobson, di convergenza uniforme in 
un punto, ed estendendola al caso della convergenza quasi uniforme, è pos- 
sibile dire che la suddetta condizione equivale all’altra: « che i punti che 
« non sono di quasi uniforme convergenza debbono formare un insieme di 
« estensione nulla (misura nulla nel senso di Jordan)». L'ipotesi che le 
singole funzioni /,(x) tendano, crescendo, verso il loro limite /(x), permette 
di sostituire la convergenza uniforme a quella quasi uniforme, ed enunciare, 
quindi, come condizione necessaria e sufficiente per l integrabilità Rieman- 
niana di /(4), la convergenza quasi uniforme, in generale, della successione; 
cioè, per quanto è stato detto prima, « ciascun punto dell’ intervallo, eccetto, 
«al più, un insieme di estensione nulla, deve essere un punto di uniforme 
« Convergenza ». 
Col seguente esempio si vede che non ogni successione crescente di 
funzioni limitate integrabili R, convergente verso una funzione limitata, 
soddisfa a queste condizioni. 
L'intervallo sia (0,1) e la funzione generica sia così definita: 
con dA 
e p<q. e primo con q 
\ fn(c)="0 nel resto dell'intervallo. 
i Di dd 
\ /a@)=1 per 25 
ì ° 
Essa soddisfa alla condizione di essere integrabile R, limitata e mono- 
tòna rispetto a x. Ma non esiste alcun punto di uniforme convergenza della 
successione. La funzione limite 
f(e)= lim /n(@) 
n= 
ha il valore uno per « razionale e il valore zero per x irrazionale, cioè è 
discontinua ovunque e non integrabile KR. 
Sarebbe poi facile trasformare questo esempio di successione non de- 
crescente rispetto a 2, in un altro di successione effettivamente crescente. 
(1) Arzelà, Memorie e Note varie pubblicate nei Rendiconti dell’Accademia di Bo- 
logna e nei Rendiconti dei Lincei, dal 1882 al 1899, e riassunte nel lavoro: Sulle fun- 
zioni (Memorie della R. Accademia di Bologna, 1900, ser. V, vol. VIII, pp. 131-186 e 
pp. 701-744). 
