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Matematica. — Sur la representation des fonctionnelles cone 
tinues. Nota di R. GATEAUX, presentata dal Socio V. VOLTERRA. 
Les fonctions 4(a), dont il sera question ici, sont des fonctions réelles 
continues de la variable réelle a, 0=a=1. Nous désignerons par D 
l'ensemble de ces fonctions, telles que A <= B, A et B étant deux 
nombres donnés. 
Nous désignerons par V|[z]|, avec ou sans indice, des expressions de 
la forme: 
Et dl sl E, 
Ko étant une constante, K, une fonction continue de @,,... , @p. 
Soîit U|[a]| une fonctionnelle définie et continue dans D. On peut 
déterminer une suite d’expressions V,|[e]|, de la forme (1), telles que 
(2) U|[g]}= lim V,|[e]}, 
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la convergence étant uniforme dans tout ensemble compact eatrait de D. 
Ce théorème est analogue à celui de Weierstrass sur la représentation 
d'une fonction continue comme limite d'une suite de polynomes. Il a été 
énoncé et démontré par M. Fréchet (Annales de l’École normale supérieure, 
mai 1910). Jen ai indiqué une démonstration plus élémentaire (Comptes 
rendus, 4 aout 1918). 
Il peut étre intéressant de posséder une représentation (2), la conver- 
gence étant uniforme dans tout le domaine D. Le théorème suivant établit 
les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doit satisfaire U|[2]| pour 
que ce résultat puisse étre obtenu. 
THEOREME. — Za fonctionnelle U|[e]| étant définie dans D, pour 
qu'elle soit limite d’expressions V,|[]|, la convergence etant uniforme 
dans D, il faut et il suffit que: 
1°) U|[z]| soit uniformement continue dans D; 
2°) quel que soit e positif, on puisse diviser l'intervalle (0,1) dans 
lequel sont définies les fonctions z(a), en un nombre fini d’intervalles tels 
que, si s(a),t(a) sont deux fonctions du domaine D ayant la méme va- 
leur moyenne dans chacun de ces intervalles, on ait: 
\U]Ci— VILA]j<*. 
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