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A) La condition est nécessaire. Nous supposons que U|[z]| est la limite 
d'erpressions V,,|[e]}, la convergence étant uniforme dans D. Nous vérifions 
d’abord que les conditions 1°) et 2°) sont satisfaites pour toute expression 
V,.[[s]|- De là nous concluons qu'elles le sont pour U|[z]|- 
B) La condition est suffisante. Nous supposons les conditions 1°) et 2°) 
satisfaites pour U|[2]]. Etant donné # positif, il nous faut déterminer une 
expression V|[2]| telle que: 
|UC4]] — VIII <e 
dans le domaine D. Nous opérons de la fagon suivante pour construire 
VICa]: 
a) Nous divisons l'intervalle (0, 1) en intervalles I, ,..., 17, d'éten- 
dues d,,...,07, séparés par les points /;,,..., Zg-1, et tels que, sì 2,% ont 
la méme valeur moyenne dans chacun d’eux, nous ayons: 
Dita — vIcA<i. 
6) Soit d le plus petit des nombres dz, et X un nombre plus petit 
que d. Nous désignerons par é(@) une fonction continue, constante dans les 
intervalles (0,21) ,(/1-4+-#,0%2),..-, (la-1 + #,1) oùelle est égale è £,,..., 69, 
et linéaire dans les intervalles restants. 
À toute fonction &(@) nous attachons un nombre U|[0]}= w(&,... 1 9) 
ainsi défini: 
Si é appartient è D, U|[C]| est la valeur de la fonetionnelle que nous 
considérons, pour la fonction È. 
Si £ n’appartient pas è D, nous remplagons par B ceux des nombres 
x qui sont plus grands que B, et par A ceux qui sont plus petits que A. 
Les nombres $., ainsi obtenus, caractérisent une fonction é'(a) appartenant 
à D, et nous posons U][é]|= U|[d']|. 
La fonction u($,...,6) = U|[S]| est ainsi définie et continue pour 
toutes les valeurs de ses variables. 
c) À toute fonetion # de D, nous faisons correspondre la fonetion È 
(appartenant ou non è D) ayant la méme valeur moyenne que 4 dans chacun 
des intervalles I. 
Nous démontrons, ensuite, que si l’on choisit 4 plus petit qu'un certain 
nombre %,, on a: 
[Ua}= VICII<3- 
En effet, si $ appartient è D, c'est évident d'après «). 
Et si $ n'appartient pas à D, nous formons une fonction 4’, correspondant 
à È' au sens précédemment indiqué, et voisine de 2. Par l’intermédiaire 
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