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Matematica. — Sur les fonctions ipermutables analytiques. 
Nota di JosepH PERÈS, presentata dal Socio V. VOLTERRA. 
S 1. — PRELIMINAIRES. 
Les fonctions permutables dont il s'agit ici, sont les fonctions permu- 
tables de 1°" espèce. J'exposerai dans cette Note une méthode nouvelle 
résolvant simplement le problème suivant: 
Htant donnée une fonction f(x ,y) analytique régqulière autour de 
l'origine (€=0,y=" 0), déterminer toutes les fonetions analytiques ré- 
gulières autour de l'origine et permutables avec elle. 
Ce problème est résolu par M." Volterra (*) dans le cas où la fonction 
donnée est d'ordre 1 ou d’ordre 2 autour de l’origine. J'ai étendu sa mé- 
thode au cas où la fonction est d'ordre  (?). Ce sera le cas où, /(x,7) 
admettant exactement (y — x)" en facteur, le développement en série de 
Taylor du quotient, commence par un terme constant non nul (*). Mais il 
est des fonctions analytiques très simples qui ne sont d'aucun ordre autour 
de l'origine: par exemple la fonction 
ax + dij avec a+ +0; 
pour de telles fonctions le problème n'est pas résolu. La méthode que je 
vais donner s'applique aussi bien è ces fonctions qu'à celles qui sont d’un 
ordre déterminé. 
D'ailleurs, mème dans le cas des fonctions d’ordre déterminé, le 2 mé- 
thodes répondent au méme problème de fagons suffisamment ditférentes pour 
ne pas faire double emploi. La méthode de M." Volterra est une méthode 
qui transforme le problème dans une équation intégro-différentielle; elle 
répond à la question par une série exponentiellement convergente, très com- 
mode pour les applications. La meéthode que je vais indiquer donne une 
forme nécessaire et suffisante du développement en série de Taylor des 
fonctions cherchées. 
(*) Rend. R. Accad. Lincei, 1°" sem. 1910, pag. 425, et 1° sem. 1911, pag. 296; 
Legons sur les fonctions de lignes (Paris, 1913), chap. XI. Le problème que traite M.® Vol 
terra est méme plus général que celui ici posé: il ne se restreint pas aux foncetions ana- 
lytiques. 
(2) Comptes-rendus, 1°" sem. 1913. 
(3) On constate sans peine ce fait en se reportant aux conditions données par M.r Vol- 
terra [loc. cit.] pour que la fonetion soit d’ordre 2, conditions qui doivent ètre vyérifiges 
autour de l'origine. 
RenpICcONTI. 1918, Vol. XXII, 2° Sem. 87 
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