— 650 — 
$ 2. — Un THÉORÈME SUR LES FONCTIONS PERMUTABLES. 
Soit (x,y) une des fonctions cherchées; on doit avoir 
1 SUEDIE) 9,9 /Ee=o, 
d'où, en dérivant p-+1 fois par rapport è 7; 
LT 1/C,9) 970,9) 90M) fWM+ 
+f1/62,9 00 €,9) — 9,9 fp =0, 
dvi 
avec les notations abrégées 
k 
DE en 
Pile, 9) == EI) , fa@.9)= ag p(d,y), 
d'où, en y faisant y=x, 
4g (€, a)) — 
î do 
oli 2.0 eci 
is 
gle leo) =0. 
Imaginons que les fonctions 
Mina 1 
lb; fa), file). far, 2) 
PLL) 911, 2),... Po(2, 2) 
soient identiquement nulles, tandis que 
fa(2,%) > 90,2) 
ne sont pas identiquement nuls. Alors la 1°"° équation (2), qui ne soit pas 
vérifiée identiquement, E àp=a+5-+1 et s'écrit: 
(a+1)/(0,2) dale. ,x)-(0+1)gyx, n) fee) =d, 
d'où 
[po(& a)" 
Lfa(&, 2)]P*" 
On en conclut immédiatement le théorème suivant : 
= constante. 
THEOREME. Si les 2 fonetions permutables f et p admettent respecti- 
vement en facteur exactement (y— @)® et (y— a); et si l’on pose 
f(a,y)=(4 — 2) g(e,y) 
pe, y)=(y—- x) hx,y), 
[a(e, 2) CI 
Cg(2 , #)]?* 
on A 
= constante. 
