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Ce théoreme, dont la démonstration ne nécessite pas l’analyticité de 
et , mais seulement l’existence d’un nombre suffisant de dérivées, géne- 
ralise le théorème de M." Volterra, d'après lequel, si /(2,y) est du premier 
ordre, on a 
TO 
y(c, x) 
f(x.) 
Il jouera un ròle dans cette note par le corollaire suivant: 
CoROLLAIRE. /(2,4) et g(x,y) étant deux fonetions permutables 
analytiques telles que la première admette ewactement, la seconde au 
moins, (y— x)° en facteur, on peut toujours trouver une constante p, 
et une seule, telle que 
= Gonstante. 
p(e.y)—uf(x,9) 
admette au moins (y — a)°*} en facteur. 
$ 3. — LES SERIES « COMPOSÉES » D'UNE SÉRIE DONNEE. 
Considérons un développement, convergent ou non, peu importe dans 
ce $, procédant selon les puissances positives de # et y: 
() Di 
0 
® 
q Upg a? Yy? e 
CINA 8 
Nous le désignerons par la notation abrégée (2,7); sì onle compose avec 
lui-mème 1,2,..2—1 fois, on obtient des développements analogues 
(2,4), f°(0,9),- f"(®,9) 
parfaitement définis. Si enfin 
Ar, A, 0.0 Un gn 
sont des nombres arbitraires, l'expression 
(2) ufo, y)+af(e,M)M+:- + anf'@)+-- 
peut étre mise sous la forme d'une série analogue à (1), 
5 00 0 
(3) ° 25 Da Cna xP Yy? 
parfaitement déterminée. Chaque coefficient cy9 est un certain polynome des 
lettres 4p9 et dn. 
Donnons nous inversement un développement de forme (3): il pourra 
arriver qu'il se laisse mettre sous la forme (2). Si cui, il est bien facile de 
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