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se rendre compte que les 4,,4>,... an sont déterminés d'une fagon unique 
et fort simplement. 
DEFINITION. Nous dirons de toute série (2) qui se laisse mettre sous 
la forme (2), qu'elle est composée de f. 
$ 4. RETOUR AU PROBLEME PosE AU $ 1. 
Soit donc une fonction /(x,y) analytique régulière autour de l’origine 
et soit à déterminer toutes les fonctions analytiques régulières autour de 
l'origine et permutables avec /(x, 7). 
I. Toute série des puissances de x et de y convergente autour de 
l'origine et comPoséE de (x,y), représente une fonction g(x ,y) qui 
répond à la question (*). i 
Soit, en effet, 
g(e,y9)=af4 af +::banf"+--: 
en écrivant que 
fp= gf 
on obtient certaines relations (?) entre les @,,@s,... 4, relations dont cha- 
cune ne contient qu'un nombre finî des 4,,4s,... @n,... Comme ces rela- 
tions sont identiquement vérifiées quand les «,,2,...4,,... non nuls sont 
en nombre fini, elles sont toujours identiquement vérifiées. 
Admettons, maintenant, que 
f(a, ) 
ne soit pas pas identiquement nul (*). 
II. Réciproque: Toute série des puissances de x et y représentant 
une fonction g(x,y) analytique autour de l'origine et permutable avec f 
est COMPOSEE de f. 
Appliquons en effet le corollaire du $ 2. Les fonctions 
fe.) 9) fe) 
admettent respectivement, exactement, 
ga, yo... (y_ at, 
(3) Si la série p= @1/+ da là +... était absolument et uniformément convergente 
ce résultat serait 6vident. Mais, ici comme dans la suite, nous ne faisons aucune hypo- 
thèse de ce genre: nous supposons seulement que g(2,y) est analytique. 
(2) En égalant les coefficients de 22 y9 dans les deux membres. 
(3) Cela n'’empèche pas que f(0,0) puisse étre nul, la fonetion f( , y) n’étant par 
conséquent d’aucun ‘ordre autour de l’origine (ex. ax + dy). 
