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en facteur. Il est done possible de trouver de nombres 4,42, -.. 4, 
tels que la différence 
g(d 9) — a f(4, 9) 
admette au moins (y—) en facteur, et la différence 
* 
p(e,y)— arf(c,4) — as f(x e IE FAZIO) 
admette au moins (y— 7)" en facteur, etc. C'est dire que la série en « et 
y qui représente cette différence, n'a pas de termes de degré inférieur à 7. 
Il en est donc de méme de la différence 
gay) — Sp apf0 19); 
cette dernière différence est donc identiquement nulle: ce qui démontre la 
proposition. 
Le problème posé au $ 1 est ainsi résolu: on obtiendra toutes les 
fonctions 9(x,y) par des développements 
(4) g(c,9)=Y, 0 /?(2,) 
les ap étant des constantes arbitraires telles seulement que la série 
Cpq LP YÎ 
obtenue en ordonnant le second membre de (4), soit convergente autour de 
l'origine; c'est un fait que l'on sait exprimer, au moins théoriquement. 
Je me suis restreint, ici, an cas où /(7,) n'est pas identiquement 
nul. Les autres cas sont plus compliqués et je les étudierai dans une autre 
Note. J'indique seulement, ici, que le cas où la fonction /(@, y) est d’ordre x 
autour de l'origine, se ramène immédiatement au précédent: c'est le cas où 
(5) f(@,y)=(y— "|a 4 Yapa ey, d+0. 
L'équation 
We, 9) =/(2,9) 
admet alors une solution analytique «(x ,y) telle que 
Yx,x)F0, 
et les fonctions permutables avec / sont les mémes que les fonetions per- 
mutables avec w que nous savons former. 
Pu. /_n 
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