—. 16587 
| stano g numeri non maggiori di n—- Pm+ +1 e non rappresentabili da 
alcuna delle forme 
\ ai4-3x,0,4-5x,... lt fin 
ie lepri 
dove Pm+r è il più piccolo numero primo, per cui sia 
e il termine noto di ciascuna delle forme (2) è resto rispetto al numero 
primo dispari che è coefficiente di x. 
8. Per lo scopo diretto della dimostrazione, stabilisco una formula che 
rappresenta tutti e soli i numeri primi a vartire da 3. Essa è data dal 
seguente teorema: 
Condizione necessaria e sufficiente affinchè il numero N > 2 sta primo 
e che esso possa porsi sotto la forma 
(4) 2a Um, 
(2) 
dove tIm è il prodotto dei numeri primi dispari da 1 a Pm înclusivamente; 
Pm è è più grande numero primo dispari per cui sia: Pn = E(VN); 
Ttm è prodotto di potenze di numeri primi > Pm con esponenti =0, è 
x = 1, ed inoltre 
(5) DO Pa 
La condizione è sufficiente: invero, nella differenza (4) non può entrare 
un fattore di 77, nè uno di 77, perchè ciascuno di essi, entrando pure in 
uno dei termini, dovrebbe entrare nell'altro, contro l'ipotesi. Nè può entrare 
in essa differenza, insieme con un fattore primo compreso fra pm ® pî, (non 
divisore di 77,,), un altro fattore primo > 1, perchè questo, per la (5), 
dovrebbe essere < m+1, ciò che si è escluso. Onde la differenza (4) è un 
numero primo (dispari) maggiore di pm, e però >2. 
La condizione è necessaria: invero, se N è primo >2, la somma 
N-+ tm sarà composta del fattore 2 con esponente = 1 e (eventualmente) 
di fattori primi che dovranno essere > pm, perchè, se uno di essi (per es. 
q= Pm) entrasse nella somma, entrerebbe, come in 7m, anche in N, che 
non sarebbe più primo. E deve verificarsi la (5), perchè, se fosse N= pi+1, 
sarebbe anche Pm+, = E(Y/N), contro l'ipotesi. 
Ad. esempio: per il numero 83, è pm= 7, 7tm= 8:57: onde 
89=2%47 —3-5-7; 
per cui 83 è primo. 
Essendo 167 primo, può porsi sotto la forma (4) che dà: 
167 = 2.661 — 3.5-7.11. 
La cd a n a © o TARRA I a Pe — | 
