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généralisé  quelconque  à  éléments  simplement  connexes,  011  a,  d'après  Poincaré, 
(1)  zz*  -  i  +  X  (-  lY  (p>  —  !)  +  (—    =  Z(-  D''«i  (') 
où  a0 ,  ai ,  «2 , .., ,  «ft  désignent  le  nombre  des  sommets,  arétes,  faces,  , 
éléments  à  k  dimensions  du  polyèdre,  D'autre  part,  soit  V„  une  variété 
algébrique.  Alors,  l' invariaut  de  Zeuthen-Segre  s'esprime,  si  n  =  2,  par  la 
relation 
(2)  I2  =  ó  —  m  —  in 
et  plus  généralement  par  la  relation 
(2')  In  =  rf-2IM_1-IM..2, 
ln-i  désignant  l'invariant  semblable  appartenant  à  la  variété  generale  d'un 
faisceau  linéaire  de  variétés  Vn_,  tracées  sur  la  Yn,  I„_2,  l'invariant  de  la 
variété-base  Vw_2  du  faisceau,  et  d  le  nombre  des  variétés  du  faisceau  douées 
d'un  point  doublé  en  dehors  des  points  de  la  variété-base  (8). 
Entre  l'invariant  lt  d'une  surface  algébrique  V8  et  l'invariant  Ht{2)  de 
la  variété  R2(2)  attachée  à  V2 ,  nous  trouverons  la  relation 
(3)  Z72(2)=,I2  +  4  [§  2] 
qui  se  généralisé  de  la  facon  suivante: 
(3')  nìm  =  (—  1)"  I„  -f  2n .  [§  4] 
La  formule  qui  exprime  le  nombre  des  cycles  à  deux  dimensions  liné- 
airement  indépendants  de  la  R8(2)  attachée  à  une  V2  est  la  suivante  : 
(4)  (pf_i)  =  if  +  4(p,-p-)+2  [§  5] 
2.  Considérons  d'abord  la  variété  R2(2)  attachée  à  un  pian  Y'2.  La  partie 
finie  du  pian  est  représentée  sur  R2(2)  par  un  élément  à  4  dimensions  E4 , 
la  ligne  à  l'inflni,  par  une  variété  fermée  à  deux  dimensions  qui  devient 
un  élément  à  2  dimensions  E2  si  on  enlève  un  point  E0.  On  peut  done 
subdiviser  la  variété  R2(2)  en  un  polyèdre  généralisé  ayant  un  sommet  E0, 
une  face  E2,  et  un  élément  à  4  dimensions  E4,  mais  n'ayant  pas  d'élé- 
ments  à  1  ni  à  3  dimensions.  Il  s'en  suit  que,  pour  le  pian: 
(5)  272(2)  =  a0  —     -f-  «a  —  «3  +  «4  =  3  . 
(l)  Poincaré,  Analysis  situs,  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  1895. 
(-)  Segre,  Intorno  ad  un  carattere  delle  superficie  e  delle  varietà  superiori  alge- 
briche, Atti  di  Torino,  1896. 
(3)  Pour  déduire  cette  formule,  on  peut  omettre  §§  3  et  4. 
