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Passons  maintenant  à  une  surface  algébrique  Yt  de  degré  plus  élevé, 
mais  ne  possédant  que  des  singularités  ordinaires.  En  la  projetant  sur  un 
pian  d'un  poinfc  arbitraire  de  l'espace,  on  obtient  une  variété  à  m  feuillets 
qui  se  joignent  deux-à-deux  le  long  d'une  courbe  de  diramation  C.  La 
courbe  G  aura  en  général  un  certain  nombre  de  points  de  rebroussement 
appartenant  a  3  feuillets.  La  variété  de  Riemann  R2(2)  attachée  à  V,  se 
compose  de  m  feuillets  superposés  sur  une  R2(t) .  Ces  feuillets  se  joignent 
le  long  d'une  variété  R2(1)  correspondant  à  la  courbe  d'embrancbement.  Sub- 
divisons  de  nouveau  la  variété  R2(2)  en  un  polyèdre  généralisé  P',  mais  cette 
fois  de  facon  que  les  points  singnliers  de  R2(1)  se  trouvent  parmi  les  som- 
mets  du  polyèdre  et  que  la  R20)  elle  méme  se  trouve  composée  d'éléments 
de  dimeusions  0,1  et  2 .  En  faisant  la  méme  subdivision  sur  chaque 
feuillet  de  la  variété  R2(2),  on  décompose  celle-ci  en  un  polyèdre  P  tei  qu'à 
un  élément  de  P'  correspondent  en  général  m  éléments  de  P . 
Si  à  chaque  élément  de  P  correspondaient  toujours  m  éléments  distincts 
de  P',  on  calculerait  l'invariant  UHi)  de  R2(2)  immédiatement,  car  on  aurait 
d'après  (5): 
ZT2(2)  =  w/72(2)  =  3m  . 
Mais  les  sommets  correspondant  aux  points  de  rebroussement  de  la  courbe  0 
appartiennent  à  3  feuillets  et  les  autres  éléments  de  R2(i),  à  2  feuillets; 
donc,  il  faut  écrire 
(6)  flt(t)  =  3m  —  («o  —  «i  +  aì)  —  f 
où  r  désigne  le  nombre  des  points  de  rebroussement  de  C  et  «„ ,  ax  et  a2 , 
le  nombre  des  sommets,  arètes  et  faces  de  R2(1) . 
Désignons  l'ordre  de  la  courbe  de  diramation  par  n',  son  genre  par  p  y 
sa  classe  par  ó ,  et  le  nombre  de  ses  points  doubles  par  d .  Alors 
«o  —  «i  -\~  «2  =  2  —  2p 
et 
d'où  l'on  obtient 
(7) 
Mais  en  désignant  le  genre  d'une  section  piane  de  la  surface  par  re,  on  a 
(»'—  l)(n—  2)  , 
=  d  —  r 
a 
à  =  ri(n'—l)  —  2d  —  Sr, 
/Z2(2)  =  Sm  —  2ri  -f  à  . 
2 
—  2n 
=  2m 
—  n' 
