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puisqu'à  cette  courbe  correspondra  une  surface  de  Riemann  à  m  feuillets, 
et  ri  points  d'embranchement. 
Donc,  fioalement, 
-#«(2)  =  $  —  m  — ■  4tt  -f- 4 
(3)  =  I2  +  4. 
3.  On  pourrait  sans  doute  étendre  la  démonstration  précédente  aux  va- 
riétés  algébriques  V„  à  dimensions  supérieures,  mais  il  faudrait  examiner 
les  singularités  de  la  variété  de  diramation  lorsqu'on  projette  la  variété  V„ 
sur  un  hyper-plan.  Nous  donnerons  une  autre  démonstration  de  (3)  qui  se 
généralisera  immédiatement. 
Considérons  sur  une  surface  algébrique  V2  un  faisceau  linéaire  de 
courbes  Ci  -f-  AC2  passant  par  m  points-base.  Pour  une  valeur  générale  du 
paramètre  X,  on  aura  une  courbe  du  faisceau  de  genre  tt,  mais  pour  ó 
valeurs  particulières,  ax  ,  a2 , ... ,  ag ,  le  genre  de  la  courbe  s'abaissera.  Nous 
représenterons  les  valeurs  réelles  et  imaginaires  de  X  sur  une  sphère  de 
Riemann  S2 ,  sur  laquelle  nous  tracerons  un  système  de  coupures  b\ ,  bz , 
...  ,  #6_i  allant  du  point  a&  aux  points  ax  ,  a2 ,  ...  ,  «6-i  •  Ces  coupures  rédui- 
ront  la  sphère  S2  à  un  élément  simplement  connexe  c  à  2  dimensions. 
On  peut  regarder  la  variété  de  Riemann  R2(2)  attachée  à  la  surface  V2 
comme  engendrée  par  la  variété  R2(1)  attachée  à  une  courbe  du  faisceau 
Ci-(-AC2.  La  variété  R2(2)  comprend  donc: 
1)  m  points  correspondant  aux  pounts-base  du  faisceau  d-j-ACj. 
Ces  points  appartiennent  à  toutes  les  variétés  R2(1) . 
2)  ó  variétés  à  2  dimensions  qui  ne  sont  autres  que  les  variétés 
R2(1)  (moins  les  points-base  que  nous  avons  déjà  comptés)  correspondant 
aux  valeurs  ax  7  a%  ,  ...  ,  a&  de  l.  Ces  variétés  auront  un  point  singulier  en 
debors  des  points-base.  Nous  devons  le  compter  comme  un  seni  point  puisque 
ce  n'est  pas  un  point  singulier  de  la  variété  R2(2). 
3)  ó  —  1  variétés  à  3  dimensions  engendrées  par  les  variétés  R2(1) 
(moins  les  points-base)  lorsque  X  varie  le  long  des  ó —  1  lignes  bx ,  b2 bs-i. 
4)  Une  variété  à  4  dimensions  engendrée  par  les  variétés  R2(l)  (moins 
les  points-base)  lorsque  X  varie  sur  la  face  c. 
Nous  calculerons  l'invariant  de  Poincaré  pour  1),  2),  3)  et  4)  séparé- 
ment.  La  somme  de  ces  nombres  sera  l'invariant  /72(2)  de  R2(2)  : 
(8)  /72(2)  = /7(l)  + /7(2>  + /7(3)-f-/7(4). 
Calculous  d'abord  Z7(4).  Nous  prenons  une  R2(1)  correspondant  à  une 
valeur  X  du  paramètre  et  nous  la  subdivisons  en  un  polyèdre  P  qui  com- 
prend les  m  points-base  panni  ses  sommets.  Pour  ce  polyèdre,  le  théorème 
d'Euler  nous  donne 
«o  —  « ,  -j-  a2  =  2  —  2tc  , 
