ou  plutót,  puisque  nous  excluons  les  points-base, 
(9)  a0  —  aY  -f-  «2  =  2  —  2n  —  m  . 
Mais  si  le  point  X  varie  sur  <?,  les  points  du  polyèdre  P  engendreront 
des  faces,  les  arètes  engendreront  des  cases,  et  les  faces  ergendreront  des 
hyper-cases.  Donc: 
(10)  nw  —  2  —  2n  —  m  . 
D'autre  part,  si  le  point  X  varie  sur  une  des  arétes  fa,  le  points  du  po- 
lyèdre engendreront  des  arétes,  les  arétes  des  faces,  et  les  faces  des  cases. 
Ainsi 
(11)  /Z(3)  =  —  (J  —  1)  (2  —  2n  —  m)  . 
Lorsque  X  =  ax  ,  az , ... ,  a& ,  la  courbe  du  faisceau  acquiert  un  point  doublé, 
le  genre  s'abaisse  de  1,  et  par  consequent,  2  —  2n  augmente  de  2.  Mais 
puisque  nous  comptons  ce  point  doublé  corame  un  setti  point  de  R8(1)  au 
lieu  de  deux,  le  nombre  «0  —  «j  +  a?,  (7),  augmente  de  1  seulement,  et 
nous  devons  écrire, 
(12)  nw  =  Ò{2  —  2n  —  m-f-  1). 
Finalement, 
(13)  77(1)  =  m. 
Des  relations  (10),  (11),  (12),  (13)  et  (8)  on  déduit 
(14)  772(2)  =  ó  —  m  -f  2(2  —  2n) 
et,  en  comparant  cette  expression  avec  l'expression  (2),  on  véiifìe  la  relation 
(3)  flW*>  =  I*  +  4. 
En  faisant  le  calcul  de  Z/2(2)  de  cette  manière,  nous  évitons  de  faire 
la  subdivision  de  la  variété  R2(2)  en  un  polyèdre.  Si  l'on  rassemblait  les 
quatre  polyèdres  détinis  ci-dessus,  il  faudrait  encore  subdiviser  convenable- 
ment  les  éléraents  des  trois  premiers  pour  compléter  la  subdivision  de  R2(2). 
Mais  cette  opération  ne  cbangerait  pas  la  valeur  des  invariants  i7(1) ,  7Z(2) 
et  iZ(3) . 
4.  Passons  maintenant  aux  variétés  algébriques  Vn ,  où  le  nombre  n 
dépasse  2 .  Nous  démontrerons  par  récurrence  un  lemme  et  un  théorème: 
Lemme  L  (n).  —  Si  une  variété  Vn_i  acquiert  uu  point  doublé  isole, 
l'iovariant  nì{n^  de  la  R2(n-i)  attachée  à  Vn_,  baisse  ou  augmente  d'une 
unite  selon  que  n  —  1  est  pair  ou  impair,  pourvu  que  l'on  fasse  la  con- 
vention de  compier  ce  point  doublé  comme  un  seul  point. 
