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Théorème  TU).  —  Si  une  variété  algébrique  Vn  ne  possède  que  dea 
singularités  ordinaires, 
(14')  nzm  =  (—  ir  ó  +  2/72(„_1)  —  /72(n_2) . 
où  n2(n)  ,  n20i-i)  et  Z72(n_2)  sont  les  invariants  de  Poincaré  des  variétés 
de  Riemann  attachées  respectivement  à  Vw,  à  la  variété  generale  Vn_i  d'un 
faisceau  linéaire  tracé  sur  Vn,  et  à  la  variété-base  V„_2  du  faisceau. 
Nous  avons  déjà  démontré  le  théorème  T  (n)  pour  le  cas  n  =  2  ;  car, 
dans  l'égalité  (14),  on  peut  remplacer  2  —  2n  par  /Z2(1)  et  m  par  nt(OÌ; 
et,  tout  en  faisaDt  la  preuve,  nous  avons  démontré  le  lemme  L  (2).  On  dé- 
duit  le  lemme  L(n  -f-  1)  du  théorème  T(n)  en  remarquant  que  si  une  va- 
riété Yn  acquiert  un  point  doublé,  le  nombre  ó  des  variétés  VK_,  d'un 
faisceau  tracé  sur  VM  qui  ont  un  point  doublé  en  dehors  des  points-base 
diminue  d'une  unité.  Donc,  le  lemme  L  (n  -J-  1)  est  une  conséquence  imme- 
diate de  la  relation  (14'). 
Il  nous  reste  à  établir  le  théorème  T(w)  à  l'aide  du  lemme  L(n).  La 
preuve  se  fait  comme  pour  le  cas  n  =  2 .  On  peut  regarder  la  variété  de 
Riemann  R2(,0  attachée  à  la  variété  algébrique  Vw  comme  engendrée  par 
la  variété  R2(n-i)  attachée  à  une  V»-;  ,  d'un  faisceau  V^-j  -}-  AV^Li  •  La 
variété  R2(n)  comprend  donc: 
1)  La  variété  R2(„_2)  attachée  à  la  variété-base  du  faisceau  V„_i  -4- 
+  W-i  • 
2)  ó  variétés  à  2(n  —  1)  dimensions  qui  ne  sont  autres  que  les  va- 
riétés R2(„_i)  (moins  la  variété  base  R2(n_2))  correspondant  aux  valeurs  ai, 
fl2,. ...ag  de  X.  Ces  variétés  auront  un  point  doublé  que  nous  compterons 
cornine  un  seul  point. 
3)  S — 1  variétés  à  2(n  —  1  )  — j—  1.  dimensions,  une  pour  chaque  aréte 
bi ,  bt  ^6-i  : 
4)  Une  variété  à  2n  dimensions  correspondant  à  c. 
Découpons  une  R2(„_i)  generale  du  faisceau  en  un  polyèdre  qui  contient 
la  R2(„_2)  base  parmi  ses  cases  de  dimensions  n  —  2  ou  moins.  L'invariant 
de  Poincaré  pour  R2(n-i) ,  lorsqu'ou  exclue  les  cases  de  la  variété  base,  sera 
(9  )  Hz(tl—l)  '  '  -^2(«-2)  ) 
formule  qui  se  réduit  à  (9)  pour  n  =  2. 
Or,  par  le  méme  raisonnement  que  pour  les  suifaces,  nous  avons  de  suite 
(10')  /7<")  ==  Ztyn-ij  —  Jdtm^ 
et 
(ir)  /7(3)  =  —  (ó-  i)  (//,(„_!,  —  n«n-t))  • 
