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De  plus,  en  nous  appuyant  sur  le  lemme  L  (n) , 
(12')  J7(2)  =  <?(#2<«-i>  -  +  (—  D"  * 
et  tìnalement 
(13')  /?<•>  = /72(„_2). 
En  faisant  la  somme,  on  obtient 
(14')  nìm  =  (-  1)*»  à  +  2tf2(M_2)  —  //2(„_2) 
et  le  théorème  est  établi. 
5.  La  formule  (1)  nous  donne,  pour  les  snrfaces  algébriques,  V2  (ou  R2(2)), 
nìm  =  i  -  (P,  - 1)  +  (P5  - 1)  -  (P3  - 1)  + 1 
=  l2  +  4. 
Mais  on  connait  la  relation 
(P1-l)  =  (Ps-D  =  2(/)i7-^)  (■). 
Donc,  on  a 
05)  (P,-l)  =  I,  +  4(^ -/>.)  + 2 
qui  exprime  le  nombre  des  cycles  à  deux  dimensions  linéairement  indépen- 
dants  (2). 
Le  calcul  des  cycles  de  la  R2(2)  attachée  à  une  surface  algébrique  se 
trouve  fait  dans  deux  mémoires  par  Poincaré  (3).  Dans  le  premier  de  ces 
mémoires,  l'espace  qui  contient  la  surface  est  l'ensemble  des  points  {x,y ,s) 
où  ce,//  et  g  sont  des  variables  complexes  et  non  bomogènes;  c'est-à-dire, 
la  région  à  l'infini  est  le  domaine  défìni  par 
x  =  oo  ij  et  z  arbitraires 
y  =  oo  ?  et  x  « 
et  g  =  oo  x  et  y  » 
Dans  le  second  mémoire,  l'espace  est  défìni  comme  le  lieu  des  points 
{x  ,  y  ,  z  ,  t)  où  x  ,  y  ,  s  et  t  sont  quatre  variables,  complexes  et  homogènes. 
Alors  la  région  à  l'infini  correspond  aux  valeurs  t  —  0  ;  x  ,  y  et  g  arbitraires 
mais  pas  toutes  nulles.  C'est  la  seconde  convention  que  nous  avons  adoptée  ici. 
(')  Picard,  Severi,  Enriques,  Castelnuovo.  Voir  la  Note  de  MM.  Castelnuovo  et 
Enriques  à  la  fin  du  t.  2  de  Picard  et  Simart,  Tkéorie  des  Fonctions  Algébriques. 
(2)  Le  nombre  des  cycles  restant  à  distance  finie  a  été  calculé  par  Picard  par 
d'autres  méthodes,  Picard  et  Simart,  t.  2,  pp.  330  et  seq. 
(3)  Journal  de  Liouville,  1902  et  1906. 
