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il  suo  simbolismo  ad  uua  complicazione  enorme,  ben  lungi  dalla  splendida 
semplicità  del  simbolismo  di  Peano.  Basta  invece  apportare  una  lieve  mo- 
dificazione a  quest'ultimo,  senz'alterarne  menomamente  la  semplicità  e  l'ele- 
ganza, per  poter  evitare  i  paradossi. 
Ma  delle  modificazioni  relative  alla  scrittura  simbolica  mi  occuperò 
altrove  ;  qui  voglio  solo  accennare  a  ciò  che  può  interessare  anche  i  non 
logici  -  matematici. 
Dopo  il  Russell,  si  è  occupato  dei  paradossi,  facendone  una  critica  mi- 
nuziosa e  profonda,  B.  Levi  (]).  Egli,  però,  pur  ricordando  la  indetermina- 
zione e  la  costanza  del  significato  delle  idee  primitive  (2),  giunge  alla  con- 
clusione che  «  assegnato  un  qualsiasi  procedimento  univoco  di  elementazioue, 
esistono  aggregati  cui  il  procedimento  stesso  non  si  applica  »  (3). 
Questa  affermazione  spiega  è  vero  i  paradossi,  ma  rimane  in  ultima 
analisi  un  paradosso  essa  stessa,  poiché  sembra  contrario  all'  intuizione  che 
esistano  classi  a  cui  non  si  applichi  il  procedimento  di  elementazioue, 
mentre  sembra  evidente  che  qualsiasi  classe  possa  esser  pensata  come  indi- 
viduo. La  negazione  di  questa  possibilità  è  una  proposizione  oscura  quanto 
i  paradossi  che  si  vogliono  evitare,  sebbene  legittima. 
2.  Fra  le  idee  primitive  della  logica,  quella  di  classe  (collezione,  aggre- 
gato, insieme)  sembra  una  delle  più  chiare  e  intuitive;  senonchè  non  è  stato 
mai  osservato  esplicitamente  che  il  concetto  intuitivo  è  di  classe  di  cose. 
Non  è  vero  che  dalla  considerazione  di  classi  di  particolari  oggetti  si  giunga 
per  astrazione  al  concetto  di  classe.  Astraendo  dalle  proprietà  particolari 
degli  oggetti,  si  giunge  alla  più  generale  idea  di  classe  di  cose  qualunque, 
ma  l'idea  di  classe  rimane  sempre  unita,  anzi  presuppone  sempre  l'idea 
delle  cose  che  la  costituiscono. 
Questi  oggetti  coi  quali  formeremo  la  classe  possono  essere  (anzi,  finché 
stiamo  nel  campo  della  pura  logica,  sono  necessariamente)  indeterminati  ; 
ma  essi  sono  da  ritenersi  invariati  in  tutto  il  ragionamento,  in  omaggio  alla 
regola  generale  ricordata  al  numero  precedente. 
In  altri  termini:  a  base  di  ogni  proposizione  logica  stanno  gli  oggetti 
coi  quali  si  possono  formare  le  classi  che  compaiono  nella  proposizione 
stessa,  e  in  ogni  reiasione  le  classi  non  possono  essere  costituite  che  coi 
detti  oggetti  i  quali  sono  da  ritenersi  dati  prima  di  porre  la  reiasione. 
È  ben  evidente  che  non  è  richiesto  che  questi  oggetti  siano  effettiva- 
mente definiti  in  un  modo  qualsiasi  ;  la  loro  interpretazione  è  in  nostro 
arbitrio,  soltanto  non  si  potrà  mai  supporre  che  fra  essi  ve  ne  sia  qualcuno 
(J)  Beppo  Levi,  Antinomie  logiche?  Ann.  di  matem.  (3),  15  (1908),  pp.  187-216. 
(2)  Loc.  oit,  pag.  190. 
(')  Loc.  cit.,  pag.  214. 
Rendiconti.  1914,  Voi.  XXIII,  2°  Sem.  9 
