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definito  dalla  stessa  proposizione  che  si  considera.  Poiché  è  evidente  che  un 
oggetto  definito  da  una  proposizione  non  si  può  supporre  dato  prima  della 
proposizione  stessa  che  lo  definisce. 
Si  potrà  obbiettare  che  in  questo  modo  restringo  arbitrariamente  l'idea 
primitiva  di  classe.  Ciò  è  vero,  ma  è  sufficiente  rispondere  che  il  mio  scopo 
è  precisamente  quello  di  mostrare  che  con  una  conveniente  determinazione 
deir  idea  di  classe  si  possono  evitare  le  contraddizioni  messe  in  evidenza 
dai  noti  paradossi. 
Questa  ragione  è  già  sufficiente  a  giustificare  le  mie  restrizioni;  e  la 
loro  necessità  acquisterebbe  un'evidenza  assoluta,  se  potessi  qui  mostrare  le 
basi  che  il  concetto  logico  di  classe  e  il  ragionamento  logico  in  generale 
hanno  nell'intuizione  spaziale.  Ma  non  è  questo  il  luogo  opportuno  per  inol- 
trarsi in  tali  considerazioni  e  mostrare  quanta  luce  possa  portare  nella  logica 
matematica  la  critica  kantiana,  rettamente  interpretata,  che  è  invece  tanto 
scaduta  nell'opinione  dei  matematici! 
3.  Secondo  la  regola  posta  al  numero  precedente,  una  classe  a  consi- 
derata come  individuo  (la  indico  con  a')  non  potrà  mai  essere  un  elemento 
di  sè  stessa  nè  della  sua  negazione  (non  a);  poiché  essa  è  costituita  di  certi 
oggetti  dati  prima  della  sua  formazione  e  quindi  fra  essi  non  può  esservi 
già  la  classe  stessa  considerata  come  individuo.  E  similmente  la  negazione 
di  a,  cioè  la  classe  non  a,  dovendo  esser  pure  costituita  di  oggetti  preesi- 
stenti ad  a,  non  può  contenere  neppur  essa  a'. 
Colla  nuova  definizione  di  classe,  dire  che  «  x  non  è  a  »  equivale  a 
dire  «  x  è  non  a  »  solo  se  ce  è  un  oggetto  definito  indipendentemente  da 
a  stesso. 
Riassumendo  :  se  a  è  una  classe  di  oggetti  e  a'  è  un  oggetto  definito 
mediante  a,  è  errato  tanto  dire  che  a'  è  un  elemento  di  a,  quanto  dire 
che  a'  è  un  elemento  di  non  a. 
Questa  proposizione  viene  a  coincidere  col  *  vicious-circle  principle  » 
di  Russell  ('):  «  whatever  involves  ali  of  a  collection  must  not  be  one  of 
the  collection  » .  Tranne  che  per  me  non  è  un  «  principio  » ,  ma  una  con- 
seguenza diretta  della  definizione  di  classe  di  oggetti. 
Mediante  questo  teorema  i  paradossi  vengono  evitati,  poiché  essi  sono 
basati  tutti  (2)  su  classi  che  contengono  sè  stesse  o  una  loro  funzione.  Per 
la  dimostrazione  di  questo,  non  ho  che  da  rimandare  alle  note  ampie  critiche 
di  Russell  nei  Principles  of  mathematics  o  nei  Principia  mathematica  (3). 
(')  A.  N.  Whitehead  and  B.  Russell,  Principia  mathematica,  Cambridge,  1910,  tom.  I, 
pag.  40. 
(2)  Ad  eccezione  di  quello  di  Richard  che  è  puramente  un  giuoco  su  parole  di 
significato  incerto. 
(")  Loc.  cit..  tom.  I,  cap.  II. 
