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in  cui  abbiamo  conservato,  per  maggiore  generalità,  la  costante  k  alla  quale 
si  potrà  attribuire  qualunque  valore  positivo,  o  negativo,  compreso  lo  zero. 
Ed  il  procedimento  che  vogliamo  seguire  per  ottenere,  in  ogni  caso,  l' inte- 
grazione della  (1)  sarà  basato  ancora  sul  metodo  delle  caratteristiche  di 
Riemaun- Volterra  nel  quale,  com'è  ben  noto,  la  funzione  incognita  <p  è  con- 
siderata come  funzione  di  punti  nello  spazio  lineare  Sp+?  a  p  -j-  q  dimen- 
sioni in  cui  le  p-\-  q  variabili  ft-  ed  rjj  sono  le  coordinate  di  un  punto 
generico  e  si  fa  uso,  quasi  esclusivamente,  delle  nozioni  fondamentali  di 
teorema  di  reciprocità,  di  varietà  caratteristica  e  di  funzione  fondamentale. 
Se  indichiamo  con  2  una  varietà  regolare  a  p  -f-  q  —  1  dimensioni  che 
limiti  una  regione  finita  di  Sp+q,  con  n  la  normale  interna,  con  D  il  sim- 
bolo di  derivata  conormale,  poniamo  cioè 
(2)  Dy  =  y  ^  cos  (n&)  —  y  .  ^  cos  (nrjj) , 
i    o?i  i  :  orij 
e  con  <p  e  cp'  due  soluzioni  regolari,  distinte,  qualunque  della  (1),  il  teo- 
rema di  reciprocità,  relativo  a  questa  equazione,  si  scriverà 
(3)  j(9>Dg>'  —  (p'Dg>)d2=0. 
La  varietà  conica  caratteristica  relativa  all'equazione  stessa  (1)  e  che  ha  il 
vertice  nel  punto  (xi,yì)  dello  spazio  Sp+q,  ha  per  equazione 
(4)  r*-*V=0    ,    r=  |/|>,-à)«    ,    t=^/j_j(yj-rìjy  . 
E,  poiché  intendiamo  di  escludere  completamente  dalle  nostre  considerazioni 
il  caso  p  =  q=  1,  resta  da  distinguere,  per  riguardo  a  questa  varietà  ca- 
ratteristica, i  due  soli  casi  in  cui  uno  dei  due  numeri  p  e  q  è  eguale  ad 
uno  e  quello  in  cui  tutti  e  due  questi  numeri  sono  più  grandi  di  uno.  Nel 
primo  caso  e  se  è  q  =  l,  la  varietà  caratteristica  (4)  divide  Sp+q  in  tre 
regioni  distinte,  linearmente  connesse  ed  indefinite  : 
la  r2  —  t2  >  0  ,  2a  r2  —  t2  <  0  con  yl  >  ^  ,  3a  r2  —  t2  <  0  con  «/!<*?,. 
Nel  secondo  caso,  invece,  la  varietà  (4)  divide  Sr+q  in  due  sole  regioni 
distinte,  ancora  linearmente  connesse  ed  indefinite 
la    r2_lt->0    ?    2a    r8— /*<0, 
e  l'equazione  (1)  si  comporta  allo  stesso  modo  rispetto  ai  due  gruppi  di 
coordinate  e  rjj.  È  lecito,  sotto  certe  restrizioni,  facili  a  determinarsi  in 
ciascun  caso  particolare,  scambiare  questi  due  gruppi  di  variabili,  in  tutte 
