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le  forinole  relative  alla  (1),  purché,  contemporaneamente,  si  cambii  il  segno 
di  k. 
Come  soluzioni  fondamentali  della  (1),  infine,  assumeremo  le  soluzioni 
di  questa  equazione,  già  considerate  dal  Coulon  ('),  le  quali  dipendono  sol- 
tanto da  r  e  t  e  sono  della  forma 
(5)  <px  =  t->>ip(6)f(g)    ,    0  =  -    ,    z  =  ^k^tì-r\ 
con  l  numero  qualunque  e  xp  ed  f  funzioni  soddisfacenti  alle  equazioni: 
(6)  6(1-6)  r(0)  +  [f-(l- ^ *]  yf(e)  - 
X    A-f-y  —  2     ,-,  n 
~2         2  ^  =  °' 
(7)  A*)  +  ^  +  ^  +  2A~1        -  /(,)  =  0 , 
nelle  quali  gli  accenti  sono  simboli  di  derivate.  Si  supporrà,  inoltre,  che, 
per  6=1  e  quindi  per  z  =  0 ,  xp  si  annulli  ed  /  resti  finita,  mentre,  per 
r  =  0,  la  ip(6)  diventi  infinita  come  r2~p  quando  p  >  2 ,  e  come  log  r 
quando  p  =  2 . 
Seguendo  il  Coulon  prenderemo  xp(6)  sotto  la  forma 
(8)   xp(6)  =  6    2  (1-0) 
dove  F  è  il  simbolo  dì  funzione  ipergeometrica,  mentre  per  f(z)  prenderemo 
la  funzione 
(9)  f{z)  =  z~{^X~ì)lp+q  (»)> 
 +  A—  1 
2 
essendo 
Z.+2S 
La  funzione  f(z),  così  determinata,  soddisfa,  in  tutti  i  casi,  alle  condizioni 
volute.  La  funzione  tp(6),  determinata  dalla  (8),  soddisferà  a  tutte  le  condi- 
zioni richieste,  nell'  ipotesi  di  p  >  2,  se  p  -j-  q  +  2A  —  2  >>  0  ed 
(')  Thèse-Hermann,  1902,  pag.  56  e  segg. 
