—  148  - 
è  convergente  per  la  qual  cosa  si  richiede  che  sia,  oltre  a  p  >  2 ,  anche  : 
^  +  A>0    ,    p  +  q  +  l  —  2>0    ,    p  +  q  +  2X>0. 
Poiché 
2(j>  +  ?  +  A  — 2)  — (P-2)  +  ?  +  Q»  +  ?  +  2A-2), 
tutte  le  disuguaglianze  precedenti  saranno  soddisfatte  se  /  soddisferà  alle 
condizioni 
(10)  P  +  l>0    ,   P  +  q  +  U  —  2>0. 
Quando  p  =  2  la  funzione  </>(0),  determinata  dalla  (8),  si  annulla 
ancora  per  0  =  1  se  q  -j-  2/1  ^>  0  ;  e  poiché,  in  questo  caso,  nell'  intorno  di 
0  =  0,  la  xp(6)  ha  la  forma 
«  +  log  e)  F (- J  , -  *  +^.-  2  ,i  ,  e)  +  0(6) , 
dove  c  è  una  determinata  costante,  e  (I>(0)  è,  come  F,  una  serie  convergente 
in  tutto  il  cerchio  di  raggio  uno,  il  contorno  di  questo  cerchio  compreso,  se 
—  -  ,  ~  i  1  >  1  )  e  convergente,  la  funzione  xp,  data 
dalla  (8),  soddisferà  a  tutte  le  condizioni  richieste,  anche  in  questo  caso, 
se  la  serie  F^ — | ,  —   ~  '  *  '  *  j  Q  convergente.  Per  ciò  si  richiede 
che  sia: 
*  +  2>0    ,    q  +  l>0    ,    ?  +  2A>0. 
Poiché  supporremo  che  q  possa  acquistare  tutti  valori  possibili  compresa 
l'unità,  non  c'  è  luogo  a  considerare,  per  p,  il  valore  uno. 
Divideremo  in  parti  la  trattazione  del  nostro  argomento.  Nelle  prime 
due  tratteremo  i  casi  particolari  più  importanti  per  le"  applicazioni  :  p  =  3, 
q=l  e  p  =  2,q=l.  Nella  terza  parte  tratteremo  il  caso  più  generale 
p  =  2m-\-l  ,q  =  1  e  nella  quarta  quello  in  cui  p  e  q  hanno  valori  qua- 
lunque tutti  e  due  maggiori  di  uno.  Trascureremo  di  occuparci  ulteriormente 
del  caso  p  =  2m  ,  q  —  1,  con  m  >  1,  essendo  le  forinole  da  noi  già  date 
per  questo  caso,  delle  più  semplici. 
IL 
Caso  p  =  3  ,  q  =  1.  —  L'equazione  da  integrare,  in  questo  caso,  la 
scriveremo 
ai)  ^4.^_o 
(l)  In  questi  Rendic,  seduta  5  aprile  1914,  Su  l'inversione  ecc.,  pag.  477  e  segg. 
