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e  dove  tp\i)  indica  la  derivata  di  xp(t)  rispetto  al  suo  argomento  /.  Basta 
allora  ricordare  che 
(£-£+*)«•>-• 
perchè  la  forinola  precedente  si  riduca  subito  a  quella  di  Weber 
kt 
(A')     cp(x  ,  y  ,  *  ,  t)  =  f'(t)  +  9{t)  +  -  f(t)  - 
-£  dr  ì  +  <P(r)]  ^  Io  [fk  . 
Per  k  =  0  la  formola  si  riduce  ai  due  suoi  primi  termini,  e  diventa 
la  formola  di  Poisson.  Dalla  (A)  sarebbe  pure  facile  ottenere  la  generaliz- 
zazione della  formola  di  Kirchhoff  al  caso  di  onde  smorzate  che  però  non 
può  interpretarsi  come  traducente  un  principio  di  HuygheDS  che,  per  il  caso 
di  onde  smorzate,  non  sussiste. 
III. 
2,^  =  1.  —  In  questo  caso  l'equazione  da  integrare  si 
e,  per  k  positiva,  può  interpretarsi  come  una  trasformata  dell'equazione 
delle  onde  cilindriche  smorzate.  Questo  caso  particolare  della  nostra  qui- 
stione  è  importante  anche  perchè  le  operazioni  di  cui  ha  bisogno  il  metodo 
delle  caratteristiche  si  possono  eseguire  tutte  nello  spazio  ordinario. 
Interpretiamo  dunque  £  ,rj  e  r  come  le  coordinate  cartesiane  ortogonali 
di  nn  punto  dello  spazio,  e  consideriamo  la  porzione  di  spazio  limitata  dal 
cono  caratteristico 
r2  —  (t  —  tf  =  0    ,    r  =  f  (à>  —  I)*  +  {y  —  V?  > 
avente  il  vertice  nel  punto  (x  ,  y  ,  t),  dal  cilindro  r  =  s  e  dalla  porzione  a' 
di  una  superficie  regolare,  incontrata,  generalmente,  in  un  punto  solo  da 
ogni  parallela  all'asse  t  e  tale  che,  per  fissare  le  idee,  in  tutta  questa  por- 
zione di  spazio,  oltre  a  r2  <  (t  —  t)2,  sia  t  >  x .  Il  procedimento  da  seguire 
ora  è  in  tutto  analogo  a  quello  seguito  nel  caso  precedente.  Chiamando 
ancora  <p0  e  <px  le  due  soluzioni  della  (14)  che  si  ottengono  dalla  formola 
generale  (5)  facendo  in  questa,  oltre  a  p  =  2  ,  q  =  1  anche  X  =  0,  e  X  =  1, 
applichiamo  il  teorema  di  reciprocità,  relativo  alla  (14),  alle  due  coppie  di 
funzioni  (<p  ,  g>0)  e  (y> ,  <px)  dove  <p  è  una  soluzione  regolare  qualunque  della 
(14),  nella  porzione  di  spazio  che  innanzi  abbiamo  indicata  e  andiamo  al 
limite  per  e  =  0 . 
Caso  p 
scriverà 
(14) 
