Applicheremo  ora  il  teorema  di  reciprocità,  relativo  alla  (17),  nella 
regione  R'  ad  una  soluzione  regolare  qualunque,  ma  fissa,  g>  di  (17)  ed  a 
ciascuna  delle  soluzioni  fondamentali: 
(18)  yx  =  {t-ryex  l  {t-eym  *        ,  i±i  ;m  +  i +1 , 1  -  e\ . 
con 
ed  in  cui  si  suppone  che  X  acquisti  tutti  i  valori  —  1  ,  0  , 1 ,  2  , ... ,  co  per 
i  quali  valori  di  l  le  condizioni  (10)  sono  soddisfatte.  Le  formole  che  così 
si  ottengono,  al  limite,  per  e  =  0 ,  ci  daranno  le  infinite  relazioni  seguenti  : 
(19)  p9>(#i,T)(*  —  t)"1-1  [(*  —  r)l/k]ch  =  <Pl  ,    /  =  0,1,2,... 
dove  le  <fy  sono  espressioni  note  costruite  con  i  valori  che  (p  e  Dg>  acqui- 
stano nei  punti  di  2,  e  tQ  è  il  valore  di  r  corrispondente  al  punto  d'in- 
contro di  2  con  la  retta  r  =  0 . 
Non  tutte  le  relazioni  (19)  sono  necessarie  per  ottenere  l'integrazione 
della  (17),  ma  la  loro  considerazione  complessiva  permette  di  esporre  il 
nostro  procedimento  con  maggiore  semplicità  e  simmetria. 
Il  primo  passo  consisterà  nel  dimostrare  che  dalle  (19)  si  possono  otte- 
nere le  altre  relazioni: 
(20)  P  g>(xt  ,T)(t  —  ir)»"2  Im_2+Z  [(t  —  t)  fk\  dx  =  <P[»  ,  l  =  0  ,  1  ,  2  ,  ... 
in  cui  le  (Pf*  sono  combinazioni  molto  semplici  delle  t>i. 
Cominciamo  a  far  vedere  che,  data  la  serie  delle  relazioni  (19),  può 
facilmente  aggiungersene  un'altra  che  corrisponde  al  valore  — 1  di  l.  Se, 
infatti,  deriviamo,  rispetto  a  t,  la  relazione  che  si  ottiene  dalle  (19)  per 
l  =  o,  tenendo  conto  della  forinola 
~\(t-  *)m-1  Im-,  [{t  —  r)]/k]\  =  tfk  it  -  r)-»"1  Im_2  [(t  —  r)  fk\  , 
troviamo  subito 
(19')     p cp(Xi ,  r)  (ì-t)^  ITO_2  [(t  —  r)i/k]dT  =  ^^  =  . 
