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Supponiamo  ora  completata  la  serie  delle  relazioni  (19)  con  la  (19'). 
Derivando  rispetto  a  t  una  qualunque  delle  (19),  abbiamo 
(m  —  1)  P  g>(Xi  ,r){t  —  *)w~2         [{t  —  t)       dz  + 
+  g>(Xi  .T)(t-  r)-»  +  Wi(...fl  *  =  ^  » 
tenuto  conto  della  forinola 
(a)  2i;(s)  =  In+1(s)-f-I„_1(s). 
Dalla  relazione  precedente,  con  l'aiuto  delle  (19)  ancora  e  (19'),  si 
ottiene 
(21)  Jt  <f{Xi  ,T)(t  —  T)m~*  Im_2+Z  [(t  —  t)  }fk\  dT  = 
ed  in  questa  formola  l  può  variare,  evidentemente,  soltanto  da  1=1  ad 
l  =  co .  Resta  a  trovare  quella  delle  (20)  che  corrisponde  al  valore  /  =  0. 
Perciò,  seguendo  un  procedimento  già  altra  volta  indicato,  deriviamo  la  (19'), 
rispetto  a  t  in  due  modi:  una  prima  volta  considerando  (t  —  T)m~x  Im_8(...) 
come  prodotto  (t  ■ — r)  e  di  (t  —  r)m_2  Im_2(...) .  ed  applicando  ancora  la 
stessa  relazione  fra  le  funzioni  di  Bessel  che  ci  ha  procurata  la  (19')  un'altra 
volta  considerando  (t  —  r)m_1  Im_i(...)  come  prodotto  di  (/  —  t)"1-1  e  di 
In»-2(---X  ed  esprimendo  la  derivata  di  Im_2  per  le  stesse  funzioni  di  Bessel. 
Dal  paragone  delle  due  forinole  risultanti  si  arriva  subito  alla  relazione 
domandata 
(21')     P  <p(Xi  ,*)(*  —  t)™-2  In,-*  [(t  —  t)  fk\  dT  = 
—  7=  (  —  —  k\  (t>,  =  <2>il) 
Come  ora  dalle  (19)  siamo  passati  alle  (20),  ossia  (21)  e  (21'),  ripe- 
tendo m  —  1  volte  questo  processo  di  riduzione,  arriveremo  alle  forinole: 
(22)  p  tpfa  ,  t)  I,  [(*  -  t)  j/a]  dT  =  <S><r*  ,         l  =  0  ,  1 ,  2  , ... 
Basta  allora  derivare  la  prima  di  queste  relazioni,  rispetto  a  t,  e  tener  conto 
della  seconda  per  avere  la  formola  definitiva 
(C)  9(xì  .  0  =     —  —  \'k  . 
