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V. 
Caso  generale:  p  e  q>.2.  —  Cominciamo  col  ricordare  alcune  iden- 
tità analitiche  che,  almeno  per  certi  casi  particolari,  sono  molto  note.  Come 
si  ricava  subito  dalla  relazione 
^coso)  =  yn  ^  cosM«  =  I0(*)  +  2  fm  lm{s)  cos(mco) , 
o    ni  i 
sostituendo,  nel  secondo  membro,  cos(m&>)  espresso  per  le  potenze  di  cos  w, 
sassiste  la  relazione  generica 
(23)  g|4Hff^^W« 
in  cui  v  è,  naturalmente,  un  numero  intero.  Questa  identità,  del  resto,  si 
dimostra  immediatamente  per  v  =  0,  derivando  ambo  i  membri,  e  tenendo 
conto  della  relazione  (a).  Per  ogni  altro  valore  di  v  si  dimostrerà,  con  la 
stessa  facilità,  col  metodo  dell'  induzione  completa  e  con  lo  stesso  procedi- 
mento col  quale  abbiamo  detto  che  si  dimostra  per  v  —  0 . 
La  formola  (23)  vale  auche  per  ogni  valore  di  v,  sostituendo  r(v  -f-  s) 
al  posto  di  (v  -f-  s  —  1)!  purché  v  non  sia  un  intero  negativo,  e  si  può 
trovare  la  dimostrazione  di  essa  nel  libro  di  Nielsen  \_Handbuch  der  Theorie 
der  Cylinderfunk,  §  33,  form.  (4),  e  §  108,  forni.  (1)]. 
Ciò  posto  ritorniamo  alla  nostra  questione  e  consideriamo  l'equazione 
da  integrare,  nel  caso  generale  di  p  e  q  >.2,  sotto  la  forma  (1).  Consideriamo 
la  regione  dello  spazio  lineare  Sp+q  a  p  -f-  q  dimensioni  di  cui  ,  rjj)  sono 
le  coordinate  di  un  punto,  limitata  dalla  varietà  conica  caratteristica 
avente  il  vertice  nel  punto  (aV,^-)  di  Sp+q,  dalla  varietà  cilindrica  r=s 
e  dalla  porzione  2'  di  una  varietà  a  p  -f-  q  —  1  dimensioni  soddisfacente 
alle  solite  proprietà  generali,  e  nella  quale  regione  supponiamo,  e  solo  per 
fissare  le  idee,  che  sia  rs  <.  t* .  In  questa  regione,  come  di  solito,  appliche- 
remo il  teorema  di  reciprocità,  relativo  alla  (1),  ad  ogni  coppia  di  soluzioni 
di  questa  equazione  di  cui  una  q>  sia  fissa  e  rappresenti  una  soluzione  rego- 
lare generica  di  essa,  mentre  l'altra  soluzione  della  coppia  sia  una  di  quelle 
date  dalla  (5)  in  cui  X,  oltre  a  soddisfare  alle  (10),  sarà  ulteriormente 
precisata  come  presto  diremo.  Al  solito  modo,  facendo  tendere  e  a  zero,  e 
