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Basta  applicare,  infine,  un'altra  volta  l'operazione  J\  ai  due  membri  del- 
l'equazione precedente  per  trovare  la  forinola  definitiva 
P+q-2  oo 
(D) 
2(q  -  2)  k{p  ,  q) 
g>(xi,yj)  =  —  (J2)   2  2>,<P,. 
o 
Supponiamo  adesso  che  q  sia  ancora  dispari,  mentre  p  sia  pari.  Il  pro- 
cedimento innanzi  indicato  vale  inalterato  purché  nelle  (24')  si  prenda 
X  =  1 ,  e,  poiché  gli  indici  delle  funzioni  di  Bessel,  in  questo  caso,  sono 
metà  di  numeri  dispari,  si  tenga  conto  della  (23)  pel  caso  in  cui  v  è  la  metà 
di  numeri  dispari.  Il  caso  particolare  in  cui  p  =  2  non  fa  eccezione. 
Quando  q  è  pari,  applicando  il  metodo  precedente,  da  un  certo  punto 
in  poi,  al  primo  membro  delle  equazioni  che  si  dedurrebbero  dall'equazione 
corrispondente  alla  (25),  compare  lo  zero  e  non  si  ottengono  che  delle  iden- 
tità. Però  se,  pur  supponendo  q  pari,  p  è  dispari,  si  possono  ottenere  delle 
formolo  che  risolvono  il  problema  della  integrazione  operando  nella  regione 
r2  ^>  t2,  invece  che  nell'altra  in  cui  r2  <  t2 . 
Un  caso  di  assoluta  impossibilità  di  risolvere  il  problema  propostoci, 
col  metodo  da  noi  indicato  si  ha  quindi  soltanto  allorché  p  e  q  sono  con- 
temporaneamente pari.  La  impossibilità  però  è  da  imputarsi  solo  alla  natura 
delle  soluzioni  fondamentali  adoperate  e  non  al  metodo.  Per  poter  raggiun- 
gere il  nostro  scopo  quando  q  è  pari  bisognerebbe  introdurre,  come  soluzioni 
fondamentali,  delle  soluzioni  della  nostra  equazione  che  sieno  della  forma 
dove  tx  (f\  è  la  soluzione  generica  definita  dalla  (5)  e  C(^ ,  r)  una  nuova 
funzione  di  t  ed  r  tale  che  il  prodotto  Cg>\  continui  ad  annullarsi  sulla 
varietà  t2  =  r2 ,  mentre  sulla  varietà  r  =  0  diventi  infinita  di  ordine  più 
piccolo  di  <f\  stessa.  La  funzione  C  si  può  certamente  determinare,  ma 
non  pare  che  si  possa  assegnare  ad  essa  una  espressione  sufficientemente 
semplice. 
Le  difficoltà  precedenti,  del  resto,  sono  quelle  stesse  che  ha  notato  il 
Coulon  nella  sua  tesi  (pag.  97). 
^[log*  +  C(*,r)], 
