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Matematica.  —  Su  certe  equazioni  integrali  del  Kneser  e 
sulla  loro  generalizzazione.  Nota  di  Giulio  Andreoli,  presentata 
dal  Corrispondente  R.  Margolongo  ('). 
In  una  recente  Memoria  (2)  il  prof.  A.  Kneser  si  è  occupato  di  un  tipo 
nuovo  di  equazioni  integrali,  che  egli  chiama  «  belastele  ».  Esse  si  otten- 
gono (ed  appunto  di  qui  egli  dà  la  denominazione)  se  in  luogo  di  conside- 
rare le  vibrazioni  di  una  corda  o  di  una  membrana  omogenea,  si  studiano 
le  vibrazioni  di  una  corda  o  di  una  membrana  che  rispettivamente  sieno 
caricate  da  pesi  addizionali  in  punti  singolari  e  lungo  curve  singolari. 
Ora  mi  propongo  di  mostrare  in  questa  breve  Nota,  come  si  possano 
studiare  queste  equazioni,  servendosi  unicamente  dei  risultati  del  Fredholm: 
ritrovando  così  una  posizione  del  Kneser  che  considera  queste  sue  equazioni 
proprio  come  dedotte  da  quelle  del  Fredholm,  sostituendo  all'  integrale  ordi- 
nario un  integrale  «  sopralineato  » . 
Col  metodo  che  daremo  si  potranno  non  solo  estendere  immediatamente 
i  risultati  al  caso  che  sulla  corda  o  sulla  membrana  vi  sia  una  distribu- 
zione di  masse  su  un  insieme,  rispettivamente  di  misura  (esterna)  lineare 
o  superficiale  nulla,  ma  si  potranno  anche  trattare  i  casi  analoghi  per  le 
equazioni  del  Volterra,  casi  che  corrispondono  ad  un  impulso  (o  variazione) 
istantaneo  e  finito  in  una  legge  d'ereditarietà. 
1.  Rimanendo,  per  semplicità,  nel  campo  ad  una  dimensione,  e  suppo- 
nendo che  sieno  in  numero  finito  n  i  punti  «  caricati  »  le  equazioni  cari- 
cate, si  possono  scrivere  con  leggera  modifica  : 
Il  Kneser  suppone  che  le  quantità  Mv  sieno  essenzialmente  positive  :  questa 
è  una  condizione  importantissima  specialmente  pei  concetti  d'ortogonalità. 
Come  abbiamo  detto,  le  a„  sono  in  numero  di  n.  Definiamo  ora  una 
funzione  continua,  finita  e  simmetrica  (se  si  vuole)  H(#£)  che  per  £  eguale 
ad  av  assuma  il  valore  MvN(ccav);  inoltre  definiamo  un'altra  funzione  con- 
tinua (3)  /(£  ,  e)  nel  seguente  modo  : 
(')  Pervenuta  all'Accademia  il  16  agosto  1914. 
(a)  Kneser,  Belastete  Integralgleichungen,  Rend.  Circ.  Mai  Pai.,  toni.  XXXVII, 
an.  1914. 
{')  Si  riconosce  qui  agevolmente  la  formazione  di  quei  «  denti  »  usati  nella  teoria 
delle  funzioni  di  linea  del  Volterra. 
<p{x)  +  l]\    N(cca)  <p{a)  da  -f  T  M,  N(z«v)  y(«,)    =  f{x) . 
