Ma,  per  la  definizione  da  noi  data  di  H ,  l  e  e,  si  vede  che  queir  in- 
tegrale si  può  scrivere  : 
n 
^  Mv  N(a;a„)  </>(a„)  -f-  ^  > 
dunque  si  ha  che  l'equazione  (1),  si  può  anche  scrivere: 
<p(x)  Jr^\)  N(ocy)  <p{y)  dy-\-y_ÌAs  N(#a„)  y(av)  |  =  f{x)  —  . 
Epperò  si  vede  che  al  tendere  di  s  a  zero,  la  (1)  tende  a  ridursi  proprio 
alle  equazioni  caricate  o  «  belastete  »  del  Kneser. 
D'altra  parte,  se  adottiamo  la  solita  notazione  del  Fredholm,  il  deter- 
minante della  (1)  sarà  dato  da: 
D(A)  =  1-M  rM(M)d.  +  ...  +  ^  f  -  pM^-J»)  *!...*,+  ■« 
ove 
M(xy)  =  N(^)  +  H(^.)^, 
Intanto  si  può  facilmente  osservare  come  si  trasformi  questo  determi- 
nante quando  alla  M  si  sostituisca  il  suo  valore;  e  si  vede  come  ovviamente 
esso  sia  una  funzione  continua  di  s ,  essendo  quella  serie,  una  serie  unifor- 
memente convergente  di  funzioni  continue. 
Lo  stesso  si  può  dire  per  l'altra  serie  dY^^J  ;  quindi  ne  risulta  che 
le  equazioni  del  Kneser  si  possono  trattare  mediante  la  (1),  ponendo  in 
essa  e  =  0 . 
Si  ritrova  così  perfettamente  il  risultato  ottenuto  per  altra  via  dal 
Kneser  nella  sua  Memoria  al  §  VI,  circa  l'uso  dell'integrale  sopralineato. 
3.  Naturalmente  si  vede  che  il  concetto  di  ortogonalità  caricata  rientra 
in  quello  di  ortogonalità  ordinaria. 
Infatti,  il  nucleo  da  noi  introdotto,  non  è  simmetrico;  quindi  in  luogo 
di  ortogonalità,  vi  sarà  da  attendersi  una  biortogonalità  ;  e  precisamente 
saranno  biortogonali  le  autofunzioni  q>  e  xp  soddisfacenti  a 
9n(co)  +  Xn£  j  N(*y)  +  E(xy)  ^  J  <pn{y)  dy  =  0, 
xpm{x)  +  Xm  •  p|  N(y«)  +  ~&[y%)  ^gfo)   |        dy  =  0  , 
ove  An  e  Xm  sono  autovalori. 
Rendiconti-  1914.  Voi.  XXIII,  2°  Sem. 
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