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ricerca  di  queste  deformate  rigate  dipende,  invece  che  dalle  (a)  {b),  dalla 
equazione  di  Liouville 
il  cui  integrale  generale  è  ben  noto.  Viceversa,  ad  ogni  soluzione  6  della 
equazione  di  Liouville  corrispondono  oo3  deformate  rigate  del  medesimo 
paraboloide,  le  quali  hanno  a  comune  l'equazione  di  Moutard  per  le  defor- 
mazioni infinitesime;  che  ha  la  forma 
ìwòv 
Le  formole  che  collegano  le  deformate  rigate  del  paraboloide  alle  solu- 
zioni della  equazione  di  Liouville  si  applicano  facilmente  alla  ricerca  delle 
corrispondenti  trasformazioni  Bft  e  completano  così  le  formole  trovate  nella 
Memoria  citata  (del  tomo  XII,  Annali)  per  il  caso  generale. 
2.  Riferiamo  il  paraboloide  iperbolico 
P  2 
ad  un  sistema  di  coordinate  curvilinee  x^,'^,  ponendo 
(1)  X  =  ^0    ,    Y  =  #.    ,  Z=^"~^, 
talché,  pel  ds2,  abbiamo 
(2)  ds*  =  p2{l  +  x2)  dx\  —  2pqx0  £0  dx0  d$0  +  q\l  +  SI)  d$% , 
e,  pei  valori  dei  corrispondenti  simboli  di  Christoffel, 
,11)  *o  (12Lft        (22)  =  _  0 
(l$~l-t-4+£S  '    (1)  (1)         pl  +  xl  +  & 
(11)  V  (12^  =  0  <22>  -  *« 
\2)=C     ql  +  xl-t-Sl    1     (2)      U    '  (2)  1+4+^' 
Ne  segue  che  la  curvatura  K  è  data  da 
1 
K  =  — 
w(i  +  *s  +  r0) 
2\2  ' 
onde,  ponendo,  come  al  solito,  K=  —  -j.,  si  avrà 
